Wozu Eigenwerte

Aufrufe: 209     Aktiv: 03.08.2021 um 10:53

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Hey,
ich hätte mal eine Frage. Ich hab morgen meine mündliche Prüfung in Lineare Algebra 2 und wollte mal fragen, wozu man eigenntlich das charakteristische Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet. Also was sagt mir das speziell aus? Ich weiß, dass das char. Polynom bspw in Linearfaktoren zerfallen muss, damit ich eine Jordan-Normalform aufstellen kann, aber was sagt mir das sonst noch über eine Matrix? Und das selbe eben mit Eigenwerten/-vektoren. 
Vielen Dank!
gefragt

Student, Punkte: 9

 

Das ist ein ganz schön großer Themenbereich. Generell braucht man das alles für Diagonalisierung und Normalformentheorie. Darüber kann man ganz viel reden, z.B. über Normalformen in nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern, ... Hast du vlt ein paar konkrete Fragen oder suchst du nur nach einer Übersicht (falls es überhaupt eine gibt)?   ─   mathejean 26.07.2021 um 14:06

Ich hatte die Idee mit einer Jordan-Normalform anzufangen, da man kurz ein Thema zum Beginn vorstellen darf, wenn man das möchte.. Dazu berechne ich ja erstmal das char. Polynom und die Eigenwerte.. Was kann ich über die denn noch mehr aussagen außer dass λ1=-1 und λ2=2, also dass die beiden auf der Diagonalen stehen und mit der alg. Vielfachheit die Anzahl angeben kann, falls da eine Nachfrage kommt?
Und wozu berechnet man Jordan-Normalformen überhaupt? Also das ist ja der Versuch, so nah wie möglich an die Diagonalmatrix zu kommen, aber wozu braucht man die überhaupt genau?
  ─   user9902 26.07.2021 um 14:13

Das fragst Du einen Tag vor der Prüfung, Respekt, so abgebrüht war ich damals nicht. Wenn ich mir ein Thema zum Start aussuchen dürfte, würde ich auch nicht auf die idee kommen, so etwas komplexes wie die JNF zu wählen. Da kann man auch einfach nur EWe nehmen, da kann man auch viel und lange drüber reden. Alles rundherum dazu findest du auch bei wikipedia und im Internet in Skripten.   ─   mikn 26.07.2021 um 14:33

Ja EW hatten wir in LinAl1, aber nicht in LinAl2. Und ich wollte einfach nochmal ne Rückmeldungen haben, dafür ist es ja da.   ─   user9902 26.07.2021 um 14:40

Die Normalformentheorie gehört in der Linearen Algebra schon zur "Königsdisziplien" und ist in manchen Teilen auch nur mit Stoff aus der Algebra zu verstehen. Generell solltest du, wenn du dies freiwillig vorstellen willst, in allen anderen Grundlagen (Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, Basistransformation) zu 100% sicher sein. Daher kann ich mikn auch nur zustimmen, sich auf ein anderes Thema zu stürzen.   ─   mathejean 26.07.2021 um 14:41

Was habt ihr denn alles in Lina2 gemacht?   ─   mathejean 26.07.2021 um 14:42

Also "große Themen" waren jetzt eben direkt zu Beginn Jordan-Normalformen, dann Bilinearformen, Tensorprodukt, Gruppenoperationen und so..   ─   user9902 26.07.2021 um 14:44

Die Themenblöcke Bilinearformen und Gruppenoperationen sind doch eigentlich recht überschaubar, oder?   ─   mathejean 26.07.2021 um 14:51

ja wegen Bilinearformen hatte ich auch mal überlegt, aber da weiß ich kein gutes Bsp bzw wüsste nicht, auf welche "Unterthemen" ich dann genau eingehen wollen würde   ─   user9902 26.07.2021 um 14:52

Skalarprodukte z.b.   ─   mathejean 26.07.2021 um 15:04

Das Standardbeispiel für eine Bilinearform ist ein Skalarprodukt, da kann man ziemlich lange drüber reden.   ─   mikn 26.07.2021 um 15:05

Aber glaubt ihr nicht, dass ich das mit Jordan hinbekomme? Ich hab da ein Beispiel worüber ich morgen reden würde..   ─   user9902 26.07.2021 um 15:05

Was heißt Beispiel? Hast du dir eine Matrix ausgesucht und zeigst wie du zu der die JNF machst?   ─   mathejean 26.07.2021 um 15:07

Ja genau, da wollte ich dann erstmal das char. Polynom berechnen etc und dann eben am Ende die JNF aufstellen
  ─   user9902 26.07.2021 um 15:11

Wenn du das so darfst, sprciht doch nichts dagegen eine Matrix zu nehmen, wo die JNF eine Diagonalmatrix ist... Meistens geht es aber in so Prüfungen ehr um Verständniss und nicht ums Ausrechnen   ─   mathejean 26.07.2021 um 15:13

Also er meinte man könnte Defs erklären oder ein Beispiel rechnen und daran eben einzelne Dinge erklären.. Da würde es doch passen oder nicht?   ─   user9902 26.07.2021 um 15:14

Ob das passt, kann letztendlich nur der Prüfer entscheiden. Ich persönlich empfinde es immer besser, so wenig wie möglich zu rechnen, da hierbei die meisten Fehler entstehen   ─   mathejean 26.07.2021 um 15:16

Hmm okay.. Dachte das wäre eine ganz gute Idee.. Hatte auch an der Uni noch nie eine mündliche Prüfung   ─   user9902 26.07.2021 um 15:17

Hast du denn Kontakt zu deinen Kommilitonen?   ─   mathejean 26.07.2021 um 15:19

In Lina2 haben nur ganz wenige die Zulassung bekommen und die die ich kenne, hatten die Prüfung noch nicht oder sind nicht hingegangen..   ─   user9902 26.07.2021 um 15:20

Dann musst du das jetzt leider alleine entscheiden. Wir können dir hier nur bei konkreten Problemen weiterhelfen.   ─   mathejean 26.07.2021 um 15:23

Okay, trotzdem dankeschön.   ─   user9902 26.07.2021 um 15:24

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Und viel Erfolg bei der Prüfung!   ─   mathejean 26.07.2021 um 15:25

Danke! :)   ─   user9902 26.07.2021 um 15:25

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Ich weiß nicht, ob ich zu spät dran bin (habe aktuell 9 Stunden Zeitverschiebung und bin gerade aufgestanden...).

Tatsächlich kann es ein Problem sein, am Tag vor der Prüfung zu viele Vorschläge zu bekommen - da fängt man dann an zu rotieren, wenn zu viele Möglichkeiten gut klingen. Daher musst Du hier nicht weiterlesen, wenn Du Dich schon entschieden hast.

Ein nettes Beispiel könnte auch die Fibonacci-Folge und der goldene Schnitt sein. Hier lässt sich mit Hauptachsen-Transformation geometrisch argumentieren, die Rechnungen wären nicht so entscheidend (das Ergebnis ist ja bekannt), außerdem gibt es weitere relevante Beispiele.
Wenn das ganze dann noch in Bezug auf Determinanten betrachtet wird, müsste man doch auch noch genug Input aus dem zweiten Semester einbringen können...
  ─   joergwausw 26.07.2021 um 17:45

Trotzdem vielen Dank auch Dir und deinen Bemühungen!
Ich hab mich jetzt für die JNF entschieden, ich denke das wird schon klappen - es soll ja nur ein Einstieg sein.
Fibonacci und den goldenen Schnitt hatten wir tatsächlich auch schon bei Übungszetteln, aber danke :)
  ─   user9902 26.07.2021 um 20:27

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Falls ihr nicht explizit in der Vorlesung darüber gesprochen habt, wofür Eigenwerte gebraucht werden, ist sehr stark davon auszugehen, dass das nicht prüfungsrelevantes Wissen ist. Viele Konzepte, die man in den Grundlagenvorlesungen hört, tauchen erst viel später in fortgeschritteneren Vorlesungen auf (und dieses Wissen kann man von euch nicht erwarten).   ─   zest 26.07.2021 um 20:40

Dann berichte doch bitte morgen mal, wie's gelaufen ist, mit der JNF und überhaupt. Viel Erfolg.   ─   mikn 26.07.2021 um 21:08

Also mit der JNF ist alles eigentlich gut gelaufen, er fand das ein schönes Beispiel und meinte, dass ich das gut gemacht hab. Insgesamt lief es dann leider nicht so gut, da er mich missverstanden hat und ich danach total verwirrt war und er mich so aus dem Konzept gebracht hat.. Er sagte, man hat gemerkt, dass ich das alles verstanden hab, aber er wollte, dass ich nochmal komme und hat mich somit nicht bestehen lassen. Da hat er gesagt, dass ich nächstes mal sicherlich eine gute Note bekomme und das im Endeffekt ja besser ist als 5 Punkte.. war auch meine erste mündliche Prüfung und ich hatte ehrlich gesagt nicht viel Zeit das zu lernen.. Hatte am Donnerstag meine Nebenfachklausur, am Samstag Analysis 1 und eben heute die mündliche.. Denke aber auch, dass beim 2. Termin alles gut geht und bleibe erstmal optimistisch - so wie er. Es tat ihm dann auch echt leid, dass er mich so missverstanden hat und meinte, dass das nicht böse gemeint war..   ─   user9902 27.07.2021 um 17:38

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Ok, danke. Auch wenn der Prof sagt, dass er Dich missverstanden hat, empfehle ich trotzdem, nicht 100% der Schuld bei ihm und den Umständen zu suchen. Mit etwas Abstand kann man sicher ein besseres Bild gewinnen. Eine gute Idee ist auch, "mündl. Prüfung" mit Kommilitonen zu spielen (d.h. simulieren).   ─   mikn 27.07.2021 um 20:03

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Bei meiner Zwischenprüfung war das ähnlich.
Am Anfang der Vorlesung hatte er mal gesagt, dass man zur Prüfung gar nicht kommen brauche, wenn man nicht wisse, was die Matrix einer Linearen Abbildung ist.

Als es in der Prüfung dann so weit war, hatte ich die Definition drauf, und auch zwei Beispiele richtig runtergespult.
Nur die Formel, über die die Matrixelemente definiert sind, die wusste ich auswendig nicht. Die war in der Vorlesung unter "Bemerkung" als allerletzter Punkt des Abschnitts eingegliedert. Da hatte ich nicht realisiert, dass die das wichtigste in dem Kapitel sein sollte. Die hatte ich nicht drauf. Und hergeleiten konnte ich sie dann in der Prüfung auch nicht - da war ich schon zu überrollt.

Wir wurden beide wegen der Missverständnisse etwas pampig, der beisitzende Protokollant meinte hinterher, so eine Prüfung hätte er noch nicht erlebt.

Nach der Prüfung haben der Prof und ich das Missverständnis geklärt. Seine Argumentation war die gleiche: Wiederkommen und ein ordentliches Ergebnis statt einer 4.
Eine Woche später bin ich wieder hin und habe mir meine ordentliche Note abgeholt (müsste ich mal raussuchen, ob es eine 1 oder eine 2 war - Punkte gab es damals noch nicht)... wir haben dann direkt mit der fehlenden Formel angefangen... und es hat auch gar nicht wehgetan :-)
  ─   joergwausw 28.07.2021 um 22:07

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Danke, das ist schonmal beruhigend, dass es dir da ähnlich ging. Jetzt mit etwas Abstand finde ich es auch okay und gehe auch davon auch, dass es nächstes mal besser klappen wird - ich sag euch Bescheid, wenn ich daran denke :D Aber jetzt weiß ich, wie so eine mündliche Prüfung abläuft etc, von daher bleib ich mal optimistisch :)   ─   user9902 03.08.2021 um 10:53
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