Mittelwert der Standardabweichung?

Erste Frage Aufrufe: 179     Aktiv: 17.10.2023 um 20:12

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Ich habe 6 unabhängige Messungen gemacht, die aber in Wahrheit aus jeweils 10 Einzelmessungen bestehen. Von den Einzelmessungen habe ich jedoch nur die jeweiligen Mittelwerte und Standardabweichungen und nicht die einzelnen Messergebnisse.

Wie bestimme ich denn jetzt die Standardabweichungen aller 60 Ergebnisse? Rechne ich hier einfach den Mittelwert der 6 Standardabweichungen aus?
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Nein, ganz so einfach ist es nicht. Man muss auch berücksichtigen, dass die 6 Mittelwerte ihrerseits streuen und so zur Standardabweichung beitragen.

Bei den Stichproben gibt es zwei Arten von Standardabweichungen:
  1. korrigierte empirische Standardabweichung: \(\displaystyle s = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}\)
  2. empirische Standardabweichung: \(\displaystyle s = \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}\)
wobei \(\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\) der Mittelwert ist.

Die folgende Rechnung bezieht sich auf die korrigierte empirische Standardabweichung.

Die korrigierte empirische Standardabweichung aller 60 Ergebnisse lautet:
\( \;\;\; \displaystyle s \;=\; \sqrt{ \frac{54}{59} \bar{s}^2 + \frac{50}{59} ({ \large s_{\bar{x}}})^2 } \)
wobei

\( \bullet \;\;\; \displaystyle \bar{s} \;=\; \sqrt{\frac{1}{6} \sum_{j=1}^{6} s_j^2} \) das quadratische Mittel der korrigierten empirischen Standardabweichungen
\( \bullet \;\;\; {\large s_{\bar{x}}} \;=\; \displaystyle \sqrt{\frac{1}{5} \sum_{j=1}^6 \bar{x}_j}\) die korrigierte empirische Standardabweichung der Mittelwerte
\( \bullet \;\;\;\displaystyle s_j \;=\; \sqrt{\frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (x_{ij}-\bar{x}_j)^2}\) die korrigierte empirische Standardabweichung der j. Messreihe
\( \bullet \;\;\;\displaystyle \bar{x}_j = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_{ij}\) der Mittelwert der j. Messreihe
\( \bullet \;\;\;x_{ij} \) der i. Messwert der j. Messreihe

ist.
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Wow vielen Dank für die ausführliche Antwort!   ─   usera3b7c0 17.10.2023 um 20:12

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