Welche der folgenden Funktionen ist differenzierbar am Ursprung?

Erste Frage Aufrufe: 300     Aktiv: 08.10.2022 um 14:04

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Ich würde mich auch sehr über eine Schritt-für-Schritt Erklärung freuen, da ich das Thema nicht ganz verstehen konnte.
Ich möchte mich schon im Voraus bedanken.
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Moin,
wenn du in deinen Unterlagen nachschaust, wirst du (vermutlich) zwei Kriterien für die Differenzierbarkeit finden:
-Stetigkeit (alle Kompositionen der Elementarfunktionen sind stetig)
-Grenzwert des Differenzenquotients muss existieren
Der Grenzwert des Differenzenquotients existiert, wenn rechtsseitiger- und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen.
Also Beispielhaft bei \(f(x)=|x|\): Es gilt \(\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1\) und außerdem \(\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{h}{h}=1\).
Der Grenzwert existiert nicht, also ist die Funktion in 0 nicht differenzierbar.
LG
PS: Natürlich muss die Funktion im Ursprung definiert sein, sonst macht es keinen Sinn, über Differenzierbarkeit zu sprechen.
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