Homomorphiesatz

Aufrufe: 304     Aktiv: 30.03.2023 um 14:06

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Aufgabe 4 (Homomorphiesatz):

Seien K ein Körper sowie U, V,W Vektorräume über K, sodass U ≤ V ≤ W.

Zeigen Sie folgende Isomorphie

(W/U)/(V/U))≈W/V

Hinweis: Definieren Sie sich eine geeignete lineare Abbildung und wenden Sie den Homomorphiesatz an.


hallo, 
ich bin gerade für eine Klausur am lernen und habe bei folgender Aufgabe start Schwierigkeiten, selbst der Hinweis hilft mir gerade nicht wirklich weiter. Daher bitte ich euch um Hilfe ☺️

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Moin,
der Homomorphiesatz besagt, dass für Vektorräume $U,V$ und eine lineare Abbildung $f:U\to V$ folgendes gilt: $$\text{ker}f\text{ ist ein Unterraum von U und  }U/\text{ker}f\cong \text{im}f$$Du suchst also nach einer linearen Abbildung $f$, die von $W$ abbildet, als Bild $(W/U)/(V/U)$ und als Kern $V$ hat. Ein guter Anfang ist immer der kanonische Homomorphismus $$\pi:W\to W/U$$ wenden wir ihn ein zweites mal an, so erhalten wir $$\pi':W/U\to (W/U)/(V/U)$$wobei wir verwendet haben, dass $V/U$ ein UVR von $W/U$ ist (das kann man leicht zeigen). Sowohl $\pi$ als auch $\pi'$ sind surjektiv. Definiert man nun $$f=\pi'\circ \pi:W\to (W/U)/(V/U)$$so ist f immer noch surjektiv, d.h. das Bild von f ist wie gewünscht. Zu zeigen bleibt also nur noch, dass der Kern von f gleich V ist. Das sieht man leicht daran, dass der Kern von $\pi'$ $V/U$ ist , und $\pi^{-1}(V/U)=V$.
LG
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Unser Algebra-Spezialist ist derzeit nicht im Dienst, daher versuche ich mich mal daran. Daher prüfe alles genau nach.
Den Homomorphiesatz hast Du hoffentlich rausgesucht und notiert, welche Eigenschaft der gesuchte Homomorphismus haben muss.
Hat man das gemacht, drängt sich die Abb. $f$ auf mit $f(x+U)=x+V$ für alle $x\in W$. Prüfe sämtlichen nötigen Eigenschaften nun genau nach.
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