Egal, wie genau deine Funktionen \(g\) und \(h\) aussehen, die Funktion \( f = \frac{h}{g} \) ist und bleibt ein Quotient, den man für gewöhnlich mit der Quotientenregel ableitet. Man erhält also zunächst \( f^{\prime} = \frac{h^{\prime} \cdot g - h \cdot g^{\prime}}{g^2} \). Wenn nun die Funktionen \(g\) und \(h\) von besonderer Form sind, beispielsweise wie in deiner Frage \(h = u \circ v \) und \(g = t \circ d\), dann erhält man \(h^{\prime} = v^{\prime} \cdot u^{\prime} \circ v \) und \(g^{\prime} = d^{\prime} \cdot t^{\prime} \circ d\) und muss diese Terme dann in die obige Formel einsetzen. Man erhält also \(f^{\prime} = \frac{v^{\prime} \cdot u^{\prime} \circ v \cdot g - h \cdot d^{\prime} \cdot t^{\prime} \circ d}{g^2} \).

Im Allgemeinen lässt sich nicht zuerst die Kettenregel anwenden. Die Kettenregel wendet man ja nur an, wenn \(f\) in der Form \(f = r \circ s \) vorliegt und das ist für \(f = \frac{u \circ v}{t \circ d}\) im Allgemeinen nicht der Fall. Im Spezialfall \( f = \frac{n \circ s}{m \circ s} = \frac{n}{m} \circ s\) wäre es tatsächlich möglich, die Kettenregel anzuwenden. Dann erhält man \( f^{\prime} = s^{\prime} \cdot (\frac{n}{m})^{\prime} \circ s = s^{\prime} \cdot (\frac{n^{\prime} \cdot m-n \cdot m^{\prime}}{m^2}) \circ s = s^{\prime} \cdot \frac{n^{\prime} \circ s \cdot m \circ s - n \circ s \cdot m^{\prime} \circ s}{(m \circ s)^2} = \frac{s^{\prime} \cdot n^{\prime} \circ s \cdot m \circ s - n \circ s \cdot s^{\prime} \cdot m^{\prime} \circ s}{(m \circ s)^2} = \frac{(n \circ s)^{\prime} \cdot (m \circ s) - (n \circ s) \cdot (m \circ s)^{\prime}}{(m \circ s)^2}\) also (logischerweise) das gleiche Ergebnis, das man auch mit der Quotientregel erhalten würde.

Hallo, du musst in dem Fall von außen nach innen rechenen.

\(f'(x)=\left(\frac{h(x)}{g(x)}\right)'=\frac{h'(x)g(x)-h(x)g'(x)}{g(x)^2}=\frac{v'(x)u'(v(x))\cdot g(x)-h(x)\cdot d'(x)t'(d(x))}{g(x)^2}\)

viele Grüße