Abschluss einer Menge bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 103     Aktiv: 01.05.2022 um 23:01

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Wie kann ich den Abschluss einer Menge bestimmen? Ich habe folgende Menge gegeben: d := {$$({x_{k}})_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^{n} | \text{ Es existiert ein K } \in \mathbb{N}: {x_{k}} = 0 \text{ für alle k } \geq  K$$}. Habe leider keine Idee für einen Ansatz. Ich weiß nur das der Abschluss definiert ist als die Vereinigung von d und dem Rand von d.
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Ja, metrischer Raum ist gut. Aber welche Metrik? Bitte vollständige Aufgabenstellung.   ─   mikn 01.05.2022 um 15:29

Es wurde folgender normierter Vektorraum definiert: $$l^{\infty}$$ := {$$(x_{k})_{k \in \mathbb{N} } \subset \mathbb{R}^n | ||(x_{k})_{k \in \mathbb{N} }||_{\infty} < \infty$$} mit $$ ||(x_{k})_{k \in \mathbb{N} }||_{\infty} := sup ||x_{k}||, (x_{k})_{k \in \mathbb{N}} \in l^\infty$$   ─   studi22 01.05.2022 um 18:13
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Ok. Beachte, dass der Abschluss von der zugrunde liegenden Topologie des Raumes abhängt, hier von der verwendeten Norm. Nun haben wir alle Zutaten.
Mach Dir erstmal anschaulich klar, wie die Elemente in $d$ aussehen. Bringe dazu die Bedingung in eine vernünftige sprachliche Form.
Die Menge $d$ bezeichnet man häufig auch als $c_{00}$, und $c_0$ der Raum der Nullfolgen. Also $d=c_{00}\subset c_0$.
Dann behaupte ich $c_0\subset \overline{d}$. Dazu muss man zeigen, dass jedes Element aus $d$ von einer Folge von Elementen von $d$ (also: Folge von Folgen) angenähert werden kann (im Sinne von: konvergiert dagegen).
Wenn der erste Schritt ("Mach Dir....klar....") erfolgreich erledigt ist, sollte es Dir hier möglich sein, so eine Folge konkret anzugeben (möglichst einfach natürlich). Wenn Dir nichts sofort einfällt, fang mit einer Beispielfolge an.
Wir haben also $d\subset c_0\subset \overline{d}$.
Mit dem Satz aus der Vorlesung (hoffentlich dagewesen), dass $c_0$ abgeschlossen ist, folgt dann $\overline{d} = \overline{c_{00}}=c_0$.
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