Minorantenkriterium klappt nicht

Aufrufe: 219     Aktiv: 07.01.2024 um 23:01

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https://ibb.co/QKzpSpS

Ich weis nicht ganz wie ich bei 1) b) auf die Lösung komme. Hab es mit dem Minorantenkriterium versucht aber komme damit auf keine Lösung
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Schüler, Punkte: 37

 
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2 Antworten
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Wenn zwei Wurzeln voneinaner subtrahiert werden, deutet das auf den dritten binomischen Lehrsatz hin:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^{3/4}} \;=\;
  \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{n^{3/4}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \;=\;
  \frac{\sqrt{n+1}^2-\sqrt{n}^2}{n^{3/4}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \;<\;
  \frac{1}{n^{5/4}}
\)
Und nun solltet ihr hoffentlich einen Satz kennen, der besagt, dass \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}\) für alle \(\varepsilon>0\) konvergiert.
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Ich verstehe nicht, warum Du dem Frager das Erfolgserlebnis es mit Anleitung selbst zu finden, nicht gönnst.   ─   mikn 07.01.2024 um 12:55

Also in unserem Skript steht nur der Satz das 1/k^2 konvergiert   ─   alcapone 07.01.2024 um 14:50

Das ist blöd. Der Beweis, dass \(\sum_{n=1}^{\infty} n^{-p}\) konvergent ist für p>1 ist nämlich sehr technisch und länglich.
Vielleicht kommt dieser Beweis ja noch.
In der Wikipedia steht, dass man diesen Beweis mit dem Integralkriterium recht einfach erbringen kann ( https://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium ).
Habt ihr das vielleicht schon gehabt?
  ─   m.simon.539 07.01.2024 um 18:17

@m.simon Der downvote ist jetzt nicht Dein Ernst?! Ohne Begründung? Ich hab auch noch nie Helfer downgevoted, sondern nur (selten) Antworten. Also, bitte sachlich bleiben. Oder stammt der nicht von Dir?   ─   mikn 07.01.2024 um 18:20

Ich habe Dich nicht downgevotet, und auch nicht Deine Antwort hier.
Meine Antwort zu dieser Frage erhielt allerdings auch einen Downvote. Und jemand hat meine Antwort wieder upgevoted.

Dummerweise hatten sich unsere Antworten überschnitten.
  ─   m.simon.539 07.01.2024 um 22:30

Ok, dann nehme ich den Vorwurf an Dich wg des downvotes meiner Antwort zurück, sorry.   ─   mikn 07.01.2024 um 22:55

Kein Problem.   ─   m.simon.539 07.01.2024 um 22:57

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Das liegt auch daran, dass die Reihe konvergiert.
Das Majorantenkriterium geht, wenn das Konvergenzverhalten der Reihe $\sum\frac1{n^p}$ in Abhängigkeit von $p$ bekannt ist (-> Vorlesungsunterlagen!). Dazu gemäß 3. bin. F. erweitern und nach oben abschätzen.
Und vergiss nicht, beantwortete Fragen als solche abzuhaken (Anleitung siehe e-mail).
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