Guten Abend.

Mein Skript gibt mir folgendes an: (EDIT: jetzt vollständige Aufgabe mit Lösungsweg eingefügt)

Angenommen die Zufallsvariablen X und Y haben die gemeinsame Dichtefunktion:

\( f_{X,Y}(x,y)= \frac{1}{3}(4x+2y)  \text{ für } 0<= x <= 1 \text{ und } 0<=y<=1 \text{;  0 sonst }\)
Finde die Erwartungswerte von X und Y

Dazu kommt folgende Definition:

\(E[X] = \int_{R^2}xf_{X,Y}(x,y)dA = \int_Rxf_X(x)dx\)
sowie
\(E[Y] = \int_{R^2}yf_{X,Y}(x,y)dA = \int_Ryf_Y(y)dy\)

womit sich nach Fubinis Theorem, die Erwartungswerte von X und Y jeweils aus den Randwahrscheinlichkeiten errechnen lassen.
 
damit ergibt sich als erste Variante:

\( E[X] = \int_0^1 \int_0^1 \frac{x}{3}(4x+2y)dydx=\frac{11}{18}\)

Für E[Y] ergibt sich nun eine weitere Möglichkeit:

\( f_Y(y)=\int_0^1 \frac{1}{3}(4x+2y)dx = \frac{2}{3}(y+1) \)

Diese Schritt ist soweit klar und ich bekomme auch \( \frac{2}{3}(y+1) \) heraus
nun wird es aber suspekter:

\( E[Y]=  \int_0^1yf_Y(y)dy = \int_0^1 \frac{2y}{3}(y+1)dy = \frac{5}{9} \)

nun ist meine Frage: Warum ist dies so?

Wenn der Erwartungswert durch das doppelte Integral (nach Fubinis Theorem, erst das eine(innere) Integral integrieren und dann das Ergebnis (also das integrierte Integral) wieder als Funktion zum Integrieren ins äußere Integral nehmen.

Wenn ich das aber ausrechne, mit den angegeben Grenzen, kommt bei mir am Ende (beim zweiten Integral) \( [\frac{1}{3}y^2+\frac{2}{3}y]_0^1 = 1 \) heraus.

Angeblich sollen für E[X] = 11/18 und für E[Y] = 5/9 herauskommen.

EDIT: Ich verstehe außerdem nicht den Schritt bei welchem aus: 
\( f_{X,Y}(x,y)= \frac{1}{3}(4x+2y)  \text{ für } 0<= x <= 1 \text{ und } 0<=y<=1 \text{;  0 sonst }\) 
in diesem Schritt:
\( E[X] = \int_0^1 \int_0^1 \frac{x}{3}(4x+2y)dydx=\frac{11}{18}\)
bereits das x als Variable in den Bruch x/3 eingesetzt wird? Wieso wird nur dieser Teil "aufgeleitet" und der Rest also (4x+2y)dxdy wird belassen???

Das Selbe Phänomen erscheint im letzten Schritt:
\( E[Y]=  \int_0^1yf_Y(y)dy = \int_0^1 \frac{2y}{3}(y+1)dy = \frac{5}{9} \)

hier wird nach Fubinis Theorem ja das eine (nach dx integrierte) Integral \( \frac{2}{3}(y+1) \) genutzt als dA um dieses wieder zu integrieren diesmal nach dy.
Nun frage ich mich: Wieso wird der erste Teil also \( \frac{2y}{3} \) bereits "aufgeleitet" (indem die Variable zur Konstante hinzugefügt wird) aber der hintere Teil \( (y+1) \) wird belassen?



Danke und beste Grüße

Benjamin