Lineare GLS mit a,b

Aufrufe: 469     Aktiv: 15.10.2021 um 09:22
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Guten Tag, ich stehe hier vor einem Problem.... ich soll hier dieses GLS lösen, nur habe ich hier 2 Variablen, und weiß nicht wie ich das machen soll.... Normalerweise stelle ich um auf Zeilen- Stufenform, dann erhalte ich etwas für x3, setze das in die darüber liegende ein, habe was für x2 und das ganze nochmal dann habe ich auch x1.... Ich weiß auch dass (ich habe immer alpha geschrieben aber egal) a ungleich -2 sein muss..... Hat jemand eine Idee, bzw einen Ratschlag wie man hier vorgeht? Ich könnte natürlich eine allgemeine Lösung errechnen indem ich mit a und b einfach weiter rechne, aber ich glaub das ist nicht der Sinn dahinter... LG

EDIT vom 14.10.2021 um 09:01:



Das wäre dann meine Lösung, glauben Sie passt das so?
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1 Antwort
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Du kannst über den Rang der Matrix und der erweiterten Matrix gehen um über die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme eine Aussage zu machen. Schau mal hier https://www.mathebibel.de/loesbarkeit-linearer-gleichungssysteme
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Ok vielen Dank... ich hab mir das jetzt angesehen, und komme auf den Entschluss dass es in diesem Fall unendlich viele Lösungen gibt... Stimmt das? Begründung: Rang Matirx(A) = 3 , Rang Matrix(A|b) = 3, jedoch Unbekannte x1,x2,x3,a und b, also 5 .... Daher unendlich viele Lösungen.... Stimmt das? Und wird das, wenn ich es natürlich begründe, auch in der Prüfung auch anerkannt? Und da es unendlich viele Lösungen gibt, muss ich auch eine Allgemeine Lösung hinschreiben...   ─   xaverhauer 14.10.2021 um 08:25
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Lies doch mal die Aufgabe! Für manche Kombinationen von \(a,b\) gibt es keine, eine oder unendlich viele Lösungen. Der Rang ist auch nicht immer 3, dieser hängt von \(a\) ab und wenn es zum Rangverlust, kommt hängt es von \(b\) ab, ob es keine oder unendlich viele Lösungen hat!   ─   mathejean 14.10.2021 um 09:31
Ja, selbst wenn ich für a = -2 einsetzte und b = 1 einsetzte, dann hab ich einen Rangverlust.... Nur hab ich dann wiederum eine Rang Matirx(A) = 2 , Rang Matrix(A|b) = 2 und Unbekannte immernoch 3, also wieder unendlich viele Lösungen.... Ich kann ja nicht für jedes a und b von den Reelen Zahlen einsetzten und schauen was passiert, da brauch ich ja 500 Jahre....... was soll ich also tun?   ─   xaverhauer 14.10.2021 um 09:49
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Für \(a=-2\) ist \(\mathrm{rg} (A)=2\). Für den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix mit \(a=-2\) gilt \(\mathrm{rg}(A|b)=2\) für \(b=1\) und \(\mathrm{rg}(A|b)=3\) für \(b \not = 1\). Was sagt dir das jetzt?   ─   mathejean 14.10.2021 um 09:58
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Die Lösung ist korrekt   ─   gerdware 14.10.2021 um 10:02
@gerdware, meinen Sie meine Lösung?(Foto)   ─   xaverhauer 14.10.2021 um 10:52
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@xaverhauer für \(a\not = -2\) ist es tatsächlich die allgemeine Lösung, nur die Aufgabe war eine andere! Du hast weder (i), (ii) noch (iii) beantwortet, du kriegst hier im Zweifelsfall 0 Punkte.   ─   mathejean 14.10.2021 um 11:14
@mathejean ok danke ich hab verstanden was Sie meinten!

Also bei a ungleich 2 und b = 1, und bei a = -2 und b ungeich 1 erhält man KEINE Lösung!

Und bei

a ungleich -2 und 3 und bei b ungleich 5/3 und 1 , erhält man wenn man diese Zahlen NICHT einsetzt, immer eine Eindeutige Lösung heraus....

Also somit habe ich i.) ii.) und iii.) (mit allem anderen von oben inkludiert) beantwortet, sollte also 10 Punkte sein? :D   ─   xaverhauer 14.10.2021 um 17:57
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Ich weiß jetzt nicht wie die auf die 3 kommst (meinst du den Rang?), aber der Ansatz stimmt schonmal und jetzt sind wir einen entscheidenen Schritt weiter :D Ersteinmal hat für \(a \not = -2\) unabhängig von \(b\) die Matrix vollen Rang und somit eine eindeutige Lösung. Ist \(a = -2\) und \(b=1\) so gibt es unendlich viele Lösungen. Ist hingegen \(a=-2\) und \(b \not = 1 \) so gibt es keine Lösung. Für die letzten beiden Fälle musst du \(\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A|b)\) überprüfen.   ─   mathejean 14.10.2021 um 19:00
Ja die 3 war falsch gedacht von mir also einfach ignorieren ... aber danke jetzt kenn ich mich aus :)   ─   xaverhauer 15.10.2021 um 09:22

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