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Hallo,
was du hier hast ist das Schlömilch-Restglied. Habt ihr schon die Taylorformel mit Integralrestglied gehabt? Damit fängt man meistens an.
$$ f(x)=T_{n}f(x;a)+R_{n}f(x;a)=\sum _{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(a)} {k!}(x-a)^{k}+\int \limits _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t $$
Den Restglied Part musst du nun in deine Gleichung umformen. Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung wäre es ein Einzeiler. Wenn ihr denn nicht habt und den verallgemeinerten nutzen sollt, müsste ich auch eben überlegen, aber kannst dich ja einfach mal etwas dran probieren. Wenn du nicht weiter kommst melde dich.
Grüße Christian
was du hier hast ist das Schlömilch-Restglied. Habt ihr schon die Taylorformel mit Integralrestglied gehabt? Damit fängt man meistens an.
$$ f(x)=T_{n}f(x;a)+R_{n}f(x;a)=\sum _{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(a)} {k!}(x-a)^{k}+\int \limits _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t $$
Den Restglied Part musst du nun in deine Gleichung umformen. Mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung wäre es ein Einzeiler. Wenn ihr denn nicht habt und den verallgemeinerten nutzen sollt, müsste ich auch eben überlegen, aber kannst dich ja einfach mal etwas dran probieren. Wenn du nicht weiter kommst melde dich.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Ja ein Hinweis ist ja nicht verpflichtend sondern soll nur helfen, falls man keinen Anfang findet.
Genauso ist es aber richtig. Schreib vielleicht noch, dass $(x-t)^n = (x-t)^{n-p+1} \cdot (x-t)^{p-1} $
Viele Punkte sprechen nicht immer für viel Arbeit. Sondern im Allgemeinen nur für ein komplexes Problem. Und ohne Hinweis wäre das nicht so einfach gewesen ;) ─ christian_strack 16.02.2022 um 09:28
Genauso ist es aber richtig. Schreib vielleicht noch, dass $(x-t)^n = (x-t)^{n-p+1} \cdot (x-t)^{p-1} $
Viele Punkte sprechen nicht immer für viel Arbeit. Sondern im Allgemeinen nur für ein komplexes Problem. Und ohne Hinweis wäre das nicht so einfach gewesen ;) ─ christian_strack 16.02.2022 um 09:28
Zu deiner beschriebenen Vorgehensweise habe ich oben etwas hochgeladen. ─ sreal 15.02.2022 um 14:20