(Twitter)
1
Das sieht soweit ganz gut aus. Jetzt kannst du deine Ergebnisse noch umschreiben zu:
\( y_0(t) =\frac{1}{(0+1)!}t^{0+1} - t - 1 + 2(\frac{1}{0!}t^0) \)
\( y_1(t) =\frac{1}{(1+1)!}t^{1+1} - t - 1 + 2(\frac{1}{0!}t^0 + \frac{1}{1!} t^1) \)
\( y_2(t) =\frac{1}{(2+1)!}t^{2+1} - t -1 + 2(\frac{1}{0!}t^0 + \frac{1}{1!} t^1 + \frac{1}{2!} t^2) \)
\( y_3(t) =\frac{1}{(3+1)!}t^{3+1} - t -1 + 2(\frac{1}{0!}t^0 + \frac{1}{1!} t^1 + \frac{1}{2!} t^2 + \frac{1}{3!}t^3) \)
\( y_4(t) =\frac{1}{(4+1)!}t^{4+1} - t -1 + 2(\frac{1}{0!}t^0 + \frac{1}{1!} t^1 + \frac{1}{2!} t^2 + \frac{1}{3!}t^3 + \frac{1}{4!}t^4) \)
Ich hoffe, damit ist jetzt klar, welche Folge du erhälst und was dann die Lösung des Anfangswertproblems ist.
\( y_0(t) =\frac{1}{(0+1)!}t^{0+1} - t - 1 + 2(\frac{1}{0!}t^0) \)
\( y_1(t) =\frac{1}{(1+1)!}t^{1+1} - t - 1 + 2(\frac{1}{0!}t^0 + \frac{1}{1!} t^1) \)
\( y_2(t) =\frac{1}{(2+1)!}t^{2+1} - t -1 + 2(\frac{1}{0!}t^0 + \frac{1}{1!} t^1 + \frac{1}{2!} t^2) \)
\( y_3(t) =\frac{1}{(3+1)!}t^{3+1} - t -1 + 2(\frac{1}{0!}t^0 + \frac{1}{1!} t^1 + \frac{1}{2!} t^2 + \frac{1}{3!}t^3) \)
\( y_4(t) =\frac{1}{(4+1)!}t^{4+1} - t -1 + 2(\frac{1}{0!}t^0 + \frac{1}{1!} t^1 + \frac{1}{2!} t^2 + \frac{1}{3!}t^3 + \frac{1}{4!}t^4) \)
Ich hoffe, damit ist jetzt klar, welche Folge du erhälst und was dann die Lösung des Anfangswertproblems ist.
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
42
Student, Punkte: 7.02K
Student, Punkte: 7.02K
ah ja vielen Dank, gibt es da einen Trick wie man auf solche Umformungen kommt, denn ich habe ja einen ähnlichen Term mit der Summe und dem +t+1 gehabt, doch wäre nie auf diese Umformung gekommen.
─
karate
10.05.2021 um 19:15
Im Prinzip kannst du die Koeffizienten der Taylorreihe von \( y \) an der Differentialgleichung ablesen. Es gilt ja \( y^\prime(t)=y(t)+t \). Wenn du das ableitest, dann erhältst du \( y^{\prime \prime}(t)=y^\prime(t) +1 \). Wenn du weiter ableitest, dann erhältst du \( y^{(3)}(t)=y^{(2)}(t) \), \( y^{(4)}(t)=y^{(3)}(t) \), \( y^{(5)}(t)=y^{(4)}(t) \), usw. Setzt du nun \( t=0 \) ein, dann erhältst du iterativ \( y(0)=1 \), \( y^\prime(0)=1 \), \( y^{\prime\prime}(0)=2 \), \( y^{(3)}(0)=2 \), \( y^{(4)}(0)=2 \), \( y^{(5)}(0)=2 \), usw. Betrachtest du nun die Taylorreihe dazu, dann erhältst du \( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} t + \frac{2}{2!} t^2 + \frac{2}{3!} t^3 + \frac{2}{4!} t^4 + \frac{2}{5!} t^5 + \dots = -1-t+2( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} t + \frac{1}{2!} t^2 + \frac{1}{3!} t^3 + \frac{1}{4!} t^4 + \frac{1}{5!} t^5 + \dots) \). Mit diesem Wissen war es dann natürlich einfach, auf die Umformungen zu kommen.
─
42
10.05.2021 um 19:37
ah wow vielen Dank!
─ karate 10.05.2021 um 20:21
─ karate 10.05.2021 um 20:21