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Hallo zusammen

Ich müsste eine Lösung für dieses Anfangswertproblem finden, dies sollte man laut Aufgabe mit dem Piccard-Lindelöf Theorem (Piccard-Lindelöf Iiteration) machen, was ich versucht habe, doch irgendwie kommt mir das ein wenig schräg vor, denn bei allen Beispielen aus der Vorlesung haben wir immer schön eine Taylorapproximation einer bestimmten Funktion erkannt, oder haben direkt ablesen können gegen was diese Folge konvergiert, hier hingegen habe ich ein wenig Mühe eine "schöne" Lösung zu finden. Habt ihr einen Tipp oder seht ihr vielleicht direkt was ich falsch gemacht habe?

Vielen Dank für eure Hilfe

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1 Antwort
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Das sieht soweit ganz gut aus. Jetzt kannst du deine Ergebnisse noch umschreiben zu:

\( y_0(t) =\frac{1}{(0+1)!}t^{0+1} - t - 1 + 2(\frac{1}{0!}t^0) \)
\( y_1(t) =\frac{1}{(1+1)!}t^{1+1} - t - 1 + 2(\frac{1}{0!}t^0 + \frac{1}{1!} t^1) \)
\( y_2(t) =\frac{1}{(2+1)!}t^{2+1} - t -1 + 2(\frac{1}{0!}t^0 + \frac{1}{1!} t^1 + \frac{1}{2!} t^2) \)
\( y_3(t) =\frac{1}{(3+1)!}t^{3+1} - t -1 + 2(\frac{1}{0!}t^0 + \frac{1}{1!} t^1 + \frac{1}{2!} t^2 + \frac{1}{3!}t^3) \)
\( y_4(t) =\frac{1}{(4+1)!}t^{4+1} - t -1 + 2(\frac{1}{0!}t^0 + \frac{1}{1!} t^1 + \frac{1}{2!} t^2 + \frac{1}{3!}t^3 + \frac{1}{4!}t^4) \)

Ich hoffe, damit ist jetzt klar, welche Folge du erhälst und was dann die Lösung des Anfangswertproblems ist.
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ah ja vielen Dank, gibt es da einen Trick wie man auf solche Umformungen kommt, denn ich habe ja einen ähnlichen Term mit der Summe und dem +t+1 gehabt, doch wäre nie auf diese Umformung gekommen.   ─   karate 10.05.2021 um 19:15

Im Prinzip kannst du die Koeffizienten der Taylorreihe von \( y \) an der Differentialgleichung ablesen. Es gilt ja \( y^\prime(t)=y(t)+t \). Wenn du das ableitest, dann erhältst du \( y^{\prime \prime}(t)=y^\prime(t) +1 \). Wenn du weiter ableitest, dann erhältst du \( y^{(3)}(t)=y^{(2)}(t) \), \( y^{(4)}(t)=y^{(3)}(t) \), \( y^{(5)}(t)=y^{(4)}(t) \), usw. Setzt du nun \( t=0 \) ein, dann erhältst du iterativ \( y(0)=1 \), \( y^\prime(0)=1 \), \( y^{\prime\prime}(0)=2 \), \( y^{(3)}(0)=2 \), \( y^{(4)}(0)=2 \), \( y^{(5)}(0)=2 \), usw. Betrachtest du nun die Taylorreihe dazu, dann erhältst du \( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} t + \frac{2}{2!} t^2 + \frac{2}{3!} t^3 + \frac{2}{4!} t^4 + \frac{2}{5!} t^5 + \dots = -1-t+2( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} t + \frac{1}{2!} t^2 + \frac{1}{3!} t^3 + \frac{1}{4!} t^4 + \frac{1}{5!} t^5 + \dots) \). Mit diesem Wissen war es dann natürlich einfach, auf die Umformungen zu kommen.   ─   anonym 10.05.2021 um 19:37

ah wow vielen Dank!
  ─   karate 10.05.2021 um 20:21

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