Die Verwirrung mit dem 1=1+1 entsteht nur, weil die Abhängigkeiten und Variablen nicht vollständig notiert sind. Die werden gerne mal nur in Kurzform notiert.
Bei der ersten Gleichung kannst Du die äußeren beiden Differentiale auf beiden streichen (für's Verständnis). Dann ist es vergleichbar mit der zweiten Gleichung.
Grundsätzlich: $\frac{d}{dx}$ an etwas dran schreiben bedeutet "nach $x$ ableiten".
Hat man eine Funktionen $f:R^2\longrightarrow R, g,h:R\longrightarrow R$ und setzt $g$ bzw. $h$ in $f$ anstelle von $x$ bzw. $y$ ein, so gilt:
$ \frac{df}{du}(g(u),h(u)) = \frac{\partial f}{\partial x}(g(u),h(u))\cdot g'(u) +\frac{\partial f}{\partial y}f(g(u),h(u))\cdot h'(u)$.
Das ist die Kettenregel ("äußere mal innere Ableitung") und man schreibt $\partial$ anstelle von $d$ um zu betonen, dass es hier um die partiellen Ableitungen nach $x$ bzw. $y$ geht.
Für genauere Hilfe, falls nach Durchdenken dieser Erklärung noch nötig, brauchen wir lückenlose, vollständige Angaben über die Definitionsbereiche der betroffenen Funktionen.