Limes einer rekursiven Folge

Aufrufe: 58     Aktiv: 24.09.2021 um 01:26

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Liebes Mathefragen-Team,
wieso wird hier in der Lösung n0+k und nicht n0-k angeführt?



Gruß Hannah
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Hallo,

wir wissen ja, dass $a_n$ gegen $a$ konvergiert. Also ist für alle $n \geq n_0$ der Abstand zum Grenzwert kleiner als $\varepsilon$. 
Nun verschieben wir den Index unsere Folgenglieder. Ansonsten ändern wir nichts. Sagen wir mal $k=2$. Dann ist

$$(a_{n-2})_{n \geq 3} = \{ a_{3-2} , a_{4-2} , a_{5-2}, \ldots \} = \{ a_1 , a_2 , a_3 , \ldots \} $$

Wir erhalten also die selbe Folge, es wird nur das $n$ wo wir starten verändert. Da wir aber bei einem höheren $n$ starten, müssen wir auch unser $n_0$ erhöhen. Das führt uns zu $n \geq n_0+k$. 

Grüße Christian
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Das ist einfach nur ein Indexshift: Wenn für alle \(n>n_0\) die Aussage \(A(n)\) gilt, dann gilt auch für alle \(n > n_0+k\) die Aussage \(A(n-k)\). Bei einem Indexshift muss sich der Verschobene Index \(k\) nämlich links und rechts aufheben, also \(k-k=0\). Vielleicht hilft es dir, wenn du dir das ganze an einem einfachen Beispiel visualisierst.
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oder man substituiert :  m=n-k 
aus  \( n \ge k+1 \Rightarrow  n-k = m \ge 1: \Rightarrow  a_m \)  geht genauso gegen a wie \(a_n\), denn ob der Index n oder m heißt, ist ja wohl egal
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Herzlichen Dank
Hannah
  ─   user74b5b1 24.09.2021 um 01:26

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