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Hallo,
das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren erstellt aus 3 linear unabhängigen Vektoren eine Menge von Vektoren die orthogonal (Skalarprodukt gleich Null) zueinander sind und zusätzlich normiert (Länge 1) sind. Außerdem erzeugen diese neuen Vektoren den selben Untervektorraum wie die vorherigen Vektoren.
Ich denke das ist dir bekannt. Warum ich das aber nochmal wiederhole ist, weil man das eigentlich in den meisten Fällen sehr schnell selbst überprüfen kann.
Orthogonal bedeutet, dass das Skalarprodukt Null erigbt. Ich denke es ist klar, dass:
$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 , \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$$
die Vektoren sind also alle orthogonal zueinander.
Normiert bedeutet, dass die Länge (Norm) eins ergibt:
$$ \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{0^2+ 0^2 + 1^2} = 1 , \quad \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{ 0^2 + 1^2+ 0^2} = 1 , \quad \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{1^2+ 0^2 + 0^2} = 1 $$
Daraus folgt also, dass du ein richtiges Ergebnis hast. :)
Aber du musst etwas aufpassen. Deine erste Rechnung ist so nicht immer korrekt. Du hast hier im Prinzip den Vektor \( \vec{a} \) durch den Vektor \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \) ersetzt. Jetzt könnte es den Fall geben, dass dieser Vektor nicht mehr linear unabhängig zu den Vektoren \( \vec{b} \) und \( \vec{c} \) ist. Deshalb geht das nicht immer.
Mich würde deshalb interessieren, warum du wolltest, dass
$$ \mathcal{B} = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} $$
die neue Basis sein sollte. Wenn du nur eine Orthonormalbasis finden solltest, dann könntest du sofort \( \vec{a} = \vec{v}_1 \) setzen und diesen dann noch normieren. Somit würdest du dir die erste Rechnung sparen.
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
ich denke, da hat er einfach ein etwas einfacheres Beispiel gewählt :p
Prinzipiell ist
$$ \mathcal{C} = \{ \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \} $$
bereits eine Basis von \( \mathbb{R}^3 \). Was wir mit dem Gram-Schmidt-Verfahren erreichen wollen, ist aus einer Basis, eine neue Basis zu erstellen, die bestimmten Eigenschaften genügt. Nämlich der Orthogonalität und je nach Wahl des Verfahren auch die Normalität. Das hilft uns einfach in vielen Bereichen, wenn die Basis optimal gewählt wird.
Das Prinzip des Verfahrens ist, das wir einen ersten Vektor nehmen. Dann nehmen wir einen zweiten Vektor der linear unabhängig ist (also nicht parallel zum ersten Vektor) und berechnen die Projektion dieses Vektors auf unseren ersten Vektor. Wenn wir diese Projektion abziehen, dann müssen diese beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen.
Für den dritten Vektor werden dann die Projektionen auf die ersten beiden Vektoren bestimmt und diese beiden Projektionen werden dann abgezogen. So ist der dritte Vektor dann senkrecht zu den anderen beiden Vektoren.
Wenn wir jetzt keine linear unabhängigen Vektoren hätten (also bestimmte Vektoren parallel wären), dann wäre der Vektor die komplette Projektion und wir hätten nach der Bildung der Differenz den Nullvektor.
Ich hoffe das war verständlich, wenn nicht frage gerne nochmal nach.
Grüße Christian ─ christian_strack 07.01.2021 um 18:39
Um aus einer Basis \( \{ w_1,w_2,\ldots, w_n \} \) eine Orthonormalbasis \( \{ v_1 , v_2 , \ldots , v_n \} \) zu erzeugen, gilt folgende rekursive Formel
$$ v_{j}^{\prime }=w_{j}-\sum _{i=1}^{j-1}\langle v_{i},w_{j}\rangle \cdot v_{i} $$
Dabei bezeichnet \( \langle v_{i},w_{j}\rangle \), das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
Den Vektor \( v_j \) erhalten wir dann nach der Normierung
$$ v_j = \frac {v_j^\prime} {\Vert v_j^\prime \Vert} $$
Wir fangen also erstmal bei einem Vektor an und setzen
$$ v_1^\prime = w_1 $$
dann normieren wir den Vektor und erhalten
$$ v_1 = \frac {w_1} {\Vert w_1 \Vert} = \frac {v_1^\prime} {\Vert v_1^\prime \Vert} $$
Um den zweiten Vektor zu finden, bestimmen wir dann
$$ v_2^\prime = w_2 - \langle v_{1},w_{1} \rangle \cdot v_1 $$
Diesen normieren wir dann wieder um \( v_2 \) zu erhalten. Für den letzen haben wir dann zwei Summanden mit einem Skalarprodukt. Versuch dich nochmal. Ich gucke gerne nochmal drüber. ─ christian_strack 07.01.2021 um 18:47
Da hat es bei mir wohl ein kleines Verständnisproblem gegeben. In dem Beispiel von Daniel war der Vektor a(1|0|0) und wurde gleich als u1 mit der Länge 1 verwendet, weshalb ich davon ausging, dass es das Ziel ist eben u1, u2 und u3 jeweils auf einen dieser Werte zu bringen, damit er die Länge 1 hat.
da habe ich mich ein wenig geirrt 😅
bin in der ganzen Vektoren-Geschichte recht neu, da das in meiner Schulzeit nie so wirklich durchgenommen wurde :) ─ tdorn 07.01.2021 um 18:19