Funktionenschar kann einer A)

Aufrufe: 1480     Aktiv: 20.04.2021 um 10:51
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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar ft mit ft(x) = ex -tx; t E R

a)Für welche Werte von t hat der Graph Extremstellen ?

Für welche Werte von t hat der Graph keine, eine bzw. zwei Nullstellen ?

b)Zeigen sie rechnerisch dass der Graph von ft für alle t>0 einen Tiefpunkt hat und bestimmen sie dessen Koordinaten in Abhängigkeit von t. Auf welcher Ortskurve liegen die Tiefpunkte der Graphen von ft?

kann einer sagen, wie b) geht ?

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Dafür kannst du einfach die Funktion mal ableiten und dann siehst du bestimmt schon selbst, warum das immer einen Tiefpunkt hat (x fällt ja weg und solange t dann noch [wie oben angegeben] größer als 0 ist, wird die Funktion zwangsläufig immer einen Tiefpunkt haben, bzw. die Ableitung wird dann zwangsläufig immer die x-Achse irgendwo schneiden), Wenn du es dann noch nicht siehst, setze die Ableitung mal gleich 0 und sieh nach, was das Ergebnis ist.
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Du solltest so beginnen, wie du immer anfängst, wenn du einen Tiefpunkt bestimmen sollst. Berechne die Nullstellen der Ableitung und überprüfe, ob es sich dabei um einen Tiefpunkt handelt (entweder über die Monotonieeigenschaften oder die zweite Ableitung). Wenn du dann die Koordinaten des Punktes hast, kannst du die Ortskurve wiefolgt bestimmen: Setze \(x=\text{x-Koordinate des Punktes}\), löse diese Gleichung nach \(t\) auf und setze das dann in die \(y\)-Koordinate des Punktes ein. Was du dann erhälst ist die Ortskurve.
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kannst du mir b) vielleicht vorrechnen =?   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 16:09
Nein, das kriegst du selber hin. Was ist denn die Ableitung der Funktion?   ─   stal 19.04.2021 um 16:10
e^x-t   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 16:12
Genau. Für Extremstellen brauchen wir die Nullstellen davon. Kannst du die Gleichung \(e^x-t=0\) nach \(x\) auflösen?   ─   stal 19.04.2021 um 16:13
da habe ich x= ln(t)   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 16:13
Ganz genau. Hier ist es eben wichtig, dass \(t>0\), denn sonst wäre \(\ln t\) ja gar nicht definiert.
Als nächstes sollten wir untersuchen, ob an dieser Stelle auch tatsächlich ein Tiefpunkt vorliegt. Da gibt es jetzt verschiedene Vorangehensweisen. Du kannst z.B. die zweite Ableitung ausrechnen und überprüfen, ob \(f''(\ln t)>0\). Alternativ kannst du dir überlegen, dass die Funktion für \(x<\ln t\) fällt und danach steigt, was auch impliziert, dass ein Tiefpunkt vorliegt.
Kannst du weiter die \(y\)-Koordinate dieses Punktes berechnen?   ─   stal 19.04.2021 um 16:17
hab ich alles gemacht habe als Punkt (ln(t)/e^((ln(t))-t) raus   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 16:18
Das ist nicht ganz richtig, für die \(y\)-Koordinate musst du \(x=\ln t\) in die ursprüngliche Funktion \(f_t\) einsetzen, nicht in die Ableitung. Dann kommst du auf \(f_t(\ln t)=e^{\ln t}-t\cdot\ln t=t-t\ln t\).
Jetzt fehlt ja nur noch die Ortskurve. Mach es so, wie ich es in der Antwort geschrieben hab. Setze an mit \(x=\text{x-Koordinate des Punktes}\), also \(x=\ln t\). Löse diese Gleichung nach \(t\) auf und setze das in die y-Koordinate ein.   ─   stal 19.04.2021 um 16:21
habe das mit der zweiten ableitung gemacht um das zu überprüfen also e^ln(t)>0 also TP   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 16:21
ah ne stimmt habe jetzt als punkt TP(ln(t)/e^ln(t)-t*ln(t))   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 16:23
wie löse ich das denn nach t um ?   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 16:25
habe t=e^x   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 16:28
Genau. Die \(y\)-Koordinate deines Punktes kannst du übrigens noch vereinfachen, denn \(e^{\ln t}=t\). (\(\ln x\) ist ja die Umkehrfunktion von \(e^x\).) Jetzt setzt du das \(t=e^x\) in die \(y\)-Koordinate deines Tiefpunktes ein.   ─   stal 19.04.2021 um 16:31
habe dann e^ln(e^x)-t*ln(e^x)   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 16:33
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Da ist noch ein \(t\) übrig, das du vergessen hast, zu ersetzen. Auch hier: \(\ln(e^x)=x\), das vereinfacht das Ergebnis ein bisschen. Du solltest dann auf \(e^x-xe^x\) kommen. Das ist dann auch deine Ortskurve.   ─   stal 19.04.2021 um 16:35
wie kann ich a) lösen ist mir auch sehr kompliziert hätte erst die erste ableitung gleich null und dann x ausgerechnet   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 16:46
Für die Extremstellen brauchst du wieder die Ableitung. Wir haben ja schon bei der (b) gesehen, dass es für \(t>0\) genau eine Extremstelle gibt. Gibt es für die Gleichung \(e^x-t=0\) auch Lösungen, wenn \(t\leq 0\)?

Die Frage zu den Nullstellen ist schwieriger.
Ist \(t<0\), dann kannst du nachrechnen, dass \(f_t\) streng monoton steigt, es kann also höchstens eine Nullstelle geben. Wegen \(\lim_{x\to-\infty}f_t(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to\infty}f_t(x)=\infty\) muss der Graph auch irgendwann die \(x\)-Achse passieren, das heißt es gibt genau eine Nullstelle.
Den Fall \(t=0\) kannst du bestimmt selber lösen.
Für \(t>0\) haben wir ja schon die \(y\)-Koordinate des Tiefpunktes ausgerechnet. Da das ein Tiefpunkt und der einzige Extrempunkt ist, kannst du dir folgendes überlegen: Ist die \(y\)-Koordinate des Tiefpunktes positiv, gibt es keine Nullstellen, ist sie 0, gibt es eine Nullstelle, ist sie negativ, gibt es zwei Nullstellen.   ─   stal 19.04.2021 um 16:58
nein für t kleiner gleich null gibt es keine anderen ergebnisse, das heißt nur ein Tiefpunkt mit der Koordinate TP(ln(t)/e^ln(t)-t*ln(t))   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 17:06
Für \(t<0\) gibt es überhaupt keinen Tiefpunkt, denn \(\ln t\) existiert dann ja gar nicht.   ─   stal 19.04.2021 um 17:09
moment ich habe ln t in die zweite ableitung eingesetzt und dabei e^ln(t) raus t kann ja nur positiv sein also kann t nur großer null sein   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 17:16
bist du noch da ?   ─   anonymfa16a 19.04.2021 um 17:44
Sorry, jetzt bin ich wieder da. Wie gesagt, für \(t\leq 0\) gibt es keine Tiefpunkte, weil \(e^t-t\) dann immer positiv ist. Wo brauchst du denn bei den Nullstellen noch Hilfe? Ich hab dir ja oben schon aufgeschlüsselt, was du tun musst.   ─   stal 20.04.2021 um 10:51

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