Integral, Funktionentheorie

Aufrufe: 106     Aktiv: 21.03.2022 um 14:22

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Hi!

In der Klausur kam die folgende Aufabe dran:


Wie lösst man die b)? Ich konnte hier nichts anfangen. Zuerst ist mir nicht klar, ob hier eine allgemeine Funktion f(z) benutzt wird, oder die aus der Teilaufgabe a). Und wie soll ich mit diesen Quadrat Grenzen arbeiten? 

EDIT vom 21.03.2022 um 13:26:

Teilaufgabe a)

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Student, Punkte: 63

 
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Die Aufgabe ist wirklich nicht gut formuliert.
Zu a) Residuum/Ordnung beziehen sich ja auf eine Stelle. Da hier keine angegeben ist, sollen wohl alle berechnet werden. Das Ergebnis brauchst Du für b).
Zu b) Eigentlich sollte eine Funktion, die für mehrere Aufgabenteile gemeint ist, VOR den Unteraufgaben stehen. Daher ist Deine Frage ("Zuerst ist mir....") verständlich. Es ist hier wohl auch das f aus a) gemeint.
Skizziere die Kurve, dazu die Polstellen aus a). Dann wende den Residuensatz an.
So wie die Kurve gegeben ist, fehlt die Angabe der Umlaufrichtung. Aber rechne erstmal los.
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Lehrer/Professor, Punkte: 24.02K

 

Vielen Dank für die Rückmeldung! Die Teilaufgabe a) habe ich gemacht! Das Residuum der Polstellen n, sieht etwas seltsam aus.. (In der Klausur wurde uns auf der Tafel die Reihendarstellung von cot aufgeschrieben.)
Ich habe die Funktion in Wolfram Alpha eingegeben, da ich nicht weiß mit man so eine Funktion skizziert, aber es wird die übliche cot-Funktion angezeigt, keine Kurve, im sinne von Kreis.. Wenn die Polstellen richtig sind, sollte ich jetzt entscheiden, welche in den gegebenen Grenzen liegen ..
  ─   alexandrakek 21.03.2022 um 13:31

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Wer hat gesagt, dass Du die Funktion skizzieren sollst? Ich jedenfalls nicht.
Ich würde erstmal $\int_{C_N} f$ ausrechnen und danach den limes (nächste Schlampigkeit in der Aufgabe, die Du nicht übernehmen solltest: Man schreibt $\int_C f$, nicht $\int_Cf(z)$).
Kannst ja mal mit N=3 anfangen, dann siehst Du vielleicht schon was passiert.
Das grundsätzlich. Die Residuen stimmen aber nicht, auch bei 0 nicht. Und das Residuum ist eine wohldefinierte Zahl, nichts mit $\pm$. Beachte $\cos(n\pi)=(-1)^n$.
  ─   mikn 21.03.2022 um 13:52

Also ich merke, dass das Quadrat immer grösser wird! Je grösser das Quadrat, desto mehr Polstellen liegen im Quadrat. Aber wie addiere ich die Residuen, wenn N fest ist?
Ich verstehe nicht ganz, warum wir limes z gegen Unendlich betrachten... Warum kann man nicht das Integral einfach so berechnen?
  ─   alexandrakek 21.03.2022 um 14:10

Ja, Du denkst genau richtig. Und da ist die nächste Schlamperei: $z\to\infty$ macht doch gar keinen Sinn, denn $z$ ist ja die Integrationsvariable (die man aber s.o. nicht hinschreibt, oder wenn, dann mit $\int_C f(z)dz$). Ich vermute, gemeint ist $N\to\infty$. Dann ist das Integral eine Summe, und für $N\to\infty$ wird es eine Reihe.
Die Aufgabe ist so vermurkst formuliert, das darf in einer Klausuraufgabe nicht passieren. Da müssen die sich auf Einsprüche gegen die Noten gefasst machen.
  ─   mikn 21.03.2022 um 14:22

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