Um die Matrix aufzustellen, musst du \(\varphi(x^i)\) berechnen, für \(i=0,\ldots,n\). Bringe das Ergebnis jeweils in die Form \(\sum_{k=0}^na_kx^k\), dann hat die \(i\)-te Spalte deiner Matrix die Form \((a_1,\ldots,a_n)^t\).
Um zu zeigen, dass die Matrix nilpotent ist, gibt es viele Wege. Zum Beispiel kannst du dich leicht davon überzeigen, dass \(\varphi^{n+1}\) die Nullabbildung ist. Oder du kannst die Eigenwerte der Matrix ablesen.