Extremstellen bestimmen

Aufrufe: 553     Aktiv: 27.11.2020 um 13:15
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Bestimmen Sie alle stationären Punkte folgender Funktion und klassifizieren Sie diese (in lokales Minimum, lokales Maximum oder Sattelpunkt).

ƒ: ℝ2 →R, f(x,y)=sin(x)+cos(y)

 

Ansatz: 

fx = cos(x)

fy = -sin(y)

fxx = -sin(x)

fyy = -cos(y)

wie geht es nun weiter ?

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Punkte: 5

 
Bestimme den Nullvektor des Gradienten (die jeweils erste Ableitung 0 setzen). Dann kannst du am Ende über die Hesse-Matrix überprüfen, welche Art von Extrema vorliegt. Dabei wirst du noch f_(xy) nutzen können.   ─   orthando 26.11.2020 um 22:34
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1 Antwort
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Dein Gradient sieht ja so aus \( \nabla f(x,y) = \displaystyle \binom{\cos(x)}{-\sin(y)} \). Den musst du 0 setzen, also \( \nabla f(x,y) = 0\). (geschieht komponentenweise). jetzt erhältst du die beiden Gleichungen \( \cos(x) = 0 \) und \( -\sin(y) = 0 \). Löst du die beiden Gleichung jeweils auf ihre Variable auf erhältst einen Punkt \( P = (x,y) \). Dies ist dann dein Extrempunkt. Um zu prüfen ob es ein Minimum oder Maximum ist, musst du dir die Hesse-Matrix ausrechnen und auf positive bzw negative Definitheit prüfen

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Punkte: 105

 
Ich finde aber die Nullstelle von cos(x) nicht
von sin(x) ist ja 0   ─   lisa_minetti 27.11.2020 um 09:25
Also der Cosinus hat (ohne Begrenzung auf einen bestimmten Definitionsbereich) ja unendlich viele Nullstellen (genau wie der Sinus). Der Cosinus hat zB eine Nullstelle bei \( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} \). Ganz allgemein kann man die Nullstellen wie folgt darstellen: \( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) wobei k eine ganze Zahl ist   ─   cucumbertobi 27.11.2020 um 13:14

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