Hier mal ein Bild zur Problematik:

Die gesuchte Ebene hat keinen Schnittpunkt mit der \(x_3\)-Achse, bedeutet sie muss parallel dazu verlaufen, weil sie sonst irgendwann die \(x_3\)-Achse mindestens einmal schneiden würde. Die Überlegung ist jetzt wie folgt, du suchst einen Vektor der parallel zur \(x_3\)-Achse verläuft. 

Für gewöhnlich nimmt man das Kreuzprodukt von den beiden Richtungsvektoren einer Ebene um den Normalenvektor zu bestimmen, welcher auf beiden senkrecht steht. Diese Überlegung übertragen wir auf unsere Skizze. Offensichtlich liegen Stützvektor S und Richtungsvektor R beide in der \(x_1-x_2\)-Ebene. Nimmt man also das Kreuzprodukt von S und R erhält man einen Vektor \(\vec{n}\), der auf S und R senkrecht steht und parallel zur \(x_3\)-Achse verläuft. Der Punkt \(P_3\) ergibt sich nun aus Vektoraddition von S und \(\vec{n}\), also \(P_3 =\vec{S}+\vec{n}\).

Soweit klar der Gedankengang?

Ich glaube deine Schwierigkeit besteht darin überhaupt erst einmal eine Ebenegleichung aufzustellen oder?

Man kann die Gleichung aus drei Punkten Aufstellen. Da die gegeben Gerade ja offensichtlich auf der Ebene liegt, kann du dir schon mal zwei Punkte wählen, die auch auf der Gerade liegen.

Der erstes Punkt vielleicht der Stützvektor \(P_1=\begin{pmatrix} 6\\3\\0\end{pmatrix}\). Für den zweiten Punkt kannst du irgendein Wert für \(t\) einsetzen, z.B. \(t=1\). Dann erhälst du 

\(P_2 =\begin{pmatrix} 6\\3\\0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-2\\1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\4\\0\end{pmatrix}\)

Als dritten Punkt musst du nun einen Punkt wählen, welcher nicht auf der Geraden liegt.