Wie beweise ich diese Aussage über Nullmengen?

Aufrufe: 26     Aktiv: 10.10.2021 um 16:59

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Hallo Zusammen
 
Ich habe im Internet folgende Aufgabe gefunden, in der es um Nullmengen geht, da wir in der Vorlesung genau am gleichen Punkt sind, jedoch dazu keine Aufgaben haben, dachte ich mir fürs Verständnis wäre es vielleicht gut wenn ich diese hier versuche zu lösen. Also es geht um folgende Aufgabe:
 
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind für eine Teilmenge \(S\subset \mathbb{R}^n\). (\(\lambda_n\) ist das Lebesgue Mass)
 
1) Es existiert eine Borelsche Teilmenge B so dass $$S\subset B \,\,\,und\,\,\,\lambda_n(B)=0$$
2) Für jedes \(\epsilon>0\) existieren Quader \(Q_i,\,\,i\geq 1\) so dass $$S\subset \bigcup_{i=1}^\infty Q_i\,\,\,und\,\,\,\sum_{i=1}^\infty \lambda_n(Q_i)<\epsilon$$
 
Ich hätte das wie folgt bewiesen:
 
"\(\Rightarrow\)"
Da \(B\subset B(\mathbb{R}^n)\) eine Borelmenge ist wissen wir dass B offen in \(\mathbb{R}^n\) ist. Aus der Vorlesung gilt dann, dass $$B=\bigcup_{i\in I}Q_i$$ wobei \(Q_i=\prod_{i=1}^n [a_i,bi)\) disjunkte Quader sind und I eine abzählbare Menge. Daraus folgt nun direkt dass $$S\subset B=\bigcup_{i\in I}Q_i$$ Da \(\lambda_n\) sigma additiv ist und \(Q_i\) disjunkt sind giltet auch auch dass $$\lambda_n(B)=\lambda_n(\bigcup_{i\in I}Q_i)=0 \Leftrightarrow \sum_{i\in I} \lambda_n(Q_i)=0<\epsilon$$.
 
"\(\Leftarrow\)"
Sei \(\epsilon >0\) beliebig aber fix. Wir nehmen an, dass Quader \(Q_i\) existieren so dass $$S\subset \bigcup_{i=1}^\infty Q_i\,\,\,und\,\,\,\sum_{i=1}^\infty \lambda_n(Q_i)<\epsilon$$ Da nun \(Q_i\in Q(\mathbb{R}^n)=\{\bigcup_{i=1}^m Q_i|Q_i\,\,halboffene\,\,Quader\,\,, Q_i=\prod_{k=1}^n[a_{i,k},b_{i,k})\}\) und wir aus der Vorlesung wissen, dass \(Q(\mathbb{R}^n)\subset B(\mathbb{R^n})\) ist, daraus folgt direkt dass \(S\subset B\) für \(B\in B(\mathbb{R}^n)\), da die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen auch wieder offen ist.
 
Wir finden nun ein \(B_i\) finden so, dass \(B_i=Q_i\). Wir wählen \(\lambda_n(Q_i)<\frac{\epsilon}{2^i}\,\,\forall i\) dann gilt natürlich dass $$\sum_{i=1}^\infty  \lambda_n(Q_i) <\sum_{i=1}^\infty \frac{\epsilon}{2^i}=\epsilon$$ Das heisst aber dass \(0\leq\lambda_n(B_i)<\frac{\epsilon}{2^i}\rightarrow 0\). Daraus folgt dass \(\lambda_n(B_i)=0\)
 
 
Ich bin mir wirklich nicht sicher ob das so klappt, wäre toll wenn sich das jemand anschauen könnte.
 
Vielen Dank!!
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