Du musst hier einfach nur die Untervektorraumaxiome nachrechnen, dass der Nullvektor in \(W\) ist sieht man hierbei sofort. Danach musst du nurnoch die Abgeschlossenheit bezüglich Vektoraddition und Skalarmultiplikation nachweisen, dies geht durch sehr einfache algebraische Umformungen. Als Tipp hierzu, jedes \(v\in W\) lässt sich als \(v=Ax\) mit \(x \in K^n\) darstellen, betrachte also einfach mal \(v+w\) und \(\lambda v\) mit \(v,w \in W\) und \(\lambda \in K\). Übrigens nennt man \(W\) auch das Bild von \(A\). Für den nachweis des Erzeugendensystem musst du eigentlich nur wissen, wie eine Matrixmultiplikation funktioniert. Für \(x=(\lambda_1,\ldots, \lambda_n)^t\in K^n \) und \(A=(a_1, \ldots, a_n)\) mit \(a_1,\ldots, a_n \in K^m \) ist \(Ax= \lambda_1a_1+\ldots+\lambda_n a_n \). Wenn nun \(Ax=w\) für alle \(w\in W\) gilt, was folgt dann daraus?