Hey,

auch wenn es jetzt etwas später kommt, hoffe ich, dass ich dir ein paar Ansätze und Ideen geben kann:

(21) Eine Koordinatengleichung oder Koordinatenform einer Ebene kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: \( ax + by + cz = d \). Dabei bilden die Werte a, b und c einen Normalenvektor \( n = (a,b,c) \) der Ebene. Die Koordinatengleichung kann durch ausmultiplizieren der Normalengleichung einer Ebene hergeleitet werden. Der Wert für d kann dabei aus dem Skalarprodukt vom Normalenvektor und dem Stützvektor der Ebene berechnet werden. Zur Ebene gehören alle Punkte der Form \( (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \), die die Gleichung \( ax + by + cz = d \) mit gegebenen Werten für a,b,c und d erfüllen. Deshalb auch Koordinatenform, weil du die Koordinaten der Punkte in die Ebenengleichung einsetzt.

So das war der theoretische Teil, nun noch ein paar Bemerkungen zu deinen praktischen Aufgaben: Du sollst also Ebenen der Form \( ax_1 + bx_2 + cx_3 = d \) bestimmen, d.h. es gilt die Werte von a, b, c und d zu berechnen anhand der gegebenen Informationen.

(a) Die Ebene verläuft parallel zur x1-x2-Ebene, folglich müssen die Normalenvektoren der gesuchten Ebene und der x1-x2-Ebene linear abhängig sein. Ein Normalenvektor der x1-x2-Ebene lautet z.B. \( (0,0,1) \), somit ist dieser Vektor auch ein Normalenvektor unserer gesuchten Ebene. Damit wissen wir a = 0, b = 0 und c = 1. Zur Bestimmung von d nutzen wir die 2. Information, dass die Ebene den Abstand 2 haben soll. Dadurch haben alle Punkte der Ebene die Form \( (x_1,x_2,2) \), mit beliebigen Werten x1 und x2 und die x3 Koordinate hat den Wert 2 (folgt aus Parallelität und dem Abstand). Wenn du diesen Punkt nun in deine allgemeine Ebenengleichung einsetzt bekommst du \( 0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 1 \cdot 2 = d \) und damit erhältst du deinen Wert für d, nämlich \( d = 2 \). Somit lautet die Ebenengleichung in Koordinatenform \( x_3 = 2 \)

Bem.: Man hätte hier auch direkt über Parallelität und Abstand folgern können, dass d = 2 sein muss, ich wollte dir nur das allgemeinere Vorgehen beschreiben.

Für die anderen Ebenen in den Aufgabenteilen (b), (c) und (d) gehst du nun ähnlich vor. Du versuchst über die gegebenen Angaben einen Normalenvektor zu bestimmen, da dieser dir die Werte für a,b und c gibt. Anschließend überlegst du dir, welche Punkte in der Ebene liegen und setzt diese in deine Ebenengleichung ein, um damit das d zu berechnen.

Bei Aufgabe 30 sollst du nun entscheiden, ob die beiden gegebenen Ebenen identisch sind. Wann sind 2 Ebenen identisch, wenn alle Punkte der einen Ebene, auch in der anderen Ebenen liegen. Somit ist der einfachste Weg.

Ein einfacher Gegenbeweis wäre z.B. wenn du einen Punkt findest, der in der einen Ebene liegt, jedoch nicht in der anderen. Dann könntest du direkt folgern, dass beide Ebenen nicht identisch sein können. Dazu könntest du mit einer der beiden Ebenengleichungen einen Punkt bestimmen, der sicher in der Ebene E oder F liegt und dann diesen Punkt in die andere Ebene einsetzen und schauen, ob der Punkt auch in dieser Ebene liegt.

Liegt der Punkt nun in beiden Ebenen, ist das jedoch noch kein Beweis dafür, dass die beiden Ebenen identisch sind, da es sich ja auch um einen Punkt auf der Schnittgerade handeln könnte. Demzufolge musst du bei diesen Aufgaben, wo das der Fall ist die weiteren Kriterien überprüfen. 2 Ebenen sind identisch, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind und die Punktprobe (die du ja schon durchgeführt hast) erfüllt ist. Demzufolge musst du noch schauen, ob die Normalenvektoren der Ebene linear abhängig sind. Dadurch, dass du bereits alle Ebenen in Koordinatenform, wo du durch ablesen der Faktoren den Normalenvektor bestimmen kannst, oder eben direkt in Normalform gegeben hast, lässt sich das wiederum leicht überprüfen.

Aufgabe 38 ist etwas tricky. Du musst dort Geraden vom Punkt der Lichtquelle durch die Ecken des Würfels aufstellen, also mit Stützvektor und Richtungsvektor und kannst dann davon die Schnittpunkte mit der gegebenen Ebene \( x_3 = 0 \) berechnen. Das sind dann jeweils deine Eckpunkte des Schattens. Zur Berechnung des Schnittpunktes musst du also nur deine Geradengleichungen aufstellen, damit wird ja ein Punkt der Form \( (x_1,x_2,x_3) \) beschrieben. Nun nimmst du dir die untere Zeile deiner Geradengleichung und setzt die gleich 0, denn das entspricht dem Einsetzen der Gerade in die Ebenengleichung. Nun musst du damit deinen Parameter der Gerade berechnen und kannst anschließend den gesamten Schnittpunkt \( (x_1, x_2, x_3) \) berechnen, in dem du diesen Parameter wiederum in deine Geradengleichung einsetzt und den Punkt berechnest. Damit hast du dann den Schnittpunkt der Gerade zwischen Leuchtquelle, Ecke des Würfels und dem Boden berechnet und weißt, wohin der Schatten fällt.

Ich hoffe ich konnte dir mit allen Beschreibungen der Aufgaben helfen. Falls du noch Fragen zu den einzelnen Anmerkungen und Ansätzen hast, dann kannst du einfach einen Kommentar hinterlassen.