Eigenwerte

Aufrufe: 561     Aktiv: 28.07.2023 um 10:43
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Hallo,
ich habe eine von einem Parameter a abhängige matrix gegeben und soll nun alle Eigenwerte dieser Matrix bestimmen. Das charakteristische Polynom ergibt sich zu a^3 = Lambda^3 . Wie komme ich nun auf alle Eigenwerte? Der erste ist Lambda=a.
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Jo und die anderen beiden sind komplexe Zahlen mit nicht-verschwindenden Imaginärteil, sofern wir von einer reelen oder komplexen Matrix ausgehen.

Nur um sicherzustellen: Wir haben

$$\det(M_a-\lambda I)=a^3-\lambda^3, $$

wobei $I$ die Einheitsmatrix und $M_a$ die von $a$ abhängige Matrix ist?

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Korrekt. Was meinst du mit "nicht-verschwindenden Imaginärteil"?   ─   user4ebf72 27.07.2023 um 13:44
Damit meine ich, dass die anderen Nullstellen $z_i$ einfach $\Im(z_i) \neq 0$ erfüllen, also der Imaginärteil nicht 0 ist. Sprich es gibt keine weiteren reelen Lösungen der Gleichungen mehr.   ─   crystalmath 27.07.2023 um 13:50
Ok. Muss ich nun die Zahl 1 als komplexe Zahl schreiben und dann davon die dritte Wurzel ziehen? Wäre der imaginärteil der komplexen Zahl 1 nicht gleich 0 oder verstehe ich da etwas falsch?   ─   user4ebf72 27.07.2023 um 13:53
Nein. Setzen wir doch mal $c=a^3$ mit $a \in \mathbb{R}$. Jetzt suchen wir Lösungen der Gleichung $\lambda^3=c$. Zwei er drei Lösungen dieser Gleichung sind nicht-reel, eine ist reel. Die reele hast du bereits gefunden, es ist $\lambda=a$. Eine weitere komplexe Lösung ist $\lambda=a e^{\frac{2\pi i}{3}}$ und diese hat einen nicht-verschwindenden Imaginärteil - kommst du auf die andere?   ─   crystalmath 27.07.2023 um 17:51
Nein, wie kommst du denn auf diesen Eigenwert?   ─   user4ebf72 27.07.2023 um 18:23
Es gibt nur 1 reelen Eigenwert. Wenn du nur an reelen Eigenwerten interessiert bist, bist du mit $\lambda=a$ fertig. Die anderen sind einfach nur Lösungen der Gleichnung $\lambda^3=c$ und um die anderen Lösungen zu finden, nutzen wirelementare Eigenschaften komplexer Zahlen.   ─   crystalmath 27.07.2023 um 19:50
Könntest du mir bitte dein konkretes Vorgehen erklären, wie du zu dem 2. EW gekommen bist?   ─   user4ebf72 27.07.2023 um 23:27
Stichwort komplexe Zahlen und Wurzeln. Kannst du damit etwas anfangen?   ─   cauchy 28.07.2023 um 00:23
Ja, ich weiss, wie man die Wurzel aus einer komplexen Zahl berechnet. Die Frage ist nur, aus welcher komplexen Zahl ich die Wurzel nehmen soll?   ─   user4ebf72 28.07.2023 um 10:33
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Wie viele komplexe Lösungen hat die Gleichung $z^n=1$ denn? Machen wir doch mal den Ansatz $z=e^{\frac{2\pi i k}{n}}$ mit $k=0 \dots n-1$. Wir sehen, dass mithilfe von $e^{2 \pi i l}=1$ für $l \in \mathbb{Z}$, jede Zahl der Form $e^{\frac{2\pi i k}{n}}$ mit $k=0 \dots n-1$ eine Lösung von $z^n=1$ ist. Es sind auch $n$ Lösungen und nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es keine weiteren. Die Begriffe "Wurzel", "Lösung der Gleichung $z^n=1$" und "Einheitswurzel" werden oft synonym verwendet, sind aber erstmal andere Dinge. "Die Wurzel" ist somit ein schwieriger Begriff. Soweit alles klar?   ─   crystalmath 28.07.2023 um 10:36

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Ich nehme an \(X^3-a^3 \in k[X]\) hast du los charakteristisches Polynom heraus und du hast oben versucht die Nullstellen zu finden. Ja \(a\) ist eine Nullstelle, sehr gut! Um die anderen Nullstellen zu finden brauchen wir noch weitere Informationen über den Körper \(k\). Ist Charakteristik = 3, so ist \(a\) die einzige Nullstelle. Ist Charakteristik nicht = 3, so kommt es drauf an, ob es in \(k\) eine primitive dritte Wurzel von \(1\) gibt
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Da mag wohl jemand Algebra :-)   ─   crystalmath 27.07.2023 um 20:12

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