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Die Schreibweise mit dem Doppelpunkt ist wohl eher unüblich. Habe ich so jedenfalls noch nicht gesehen.
Das, was da sonst unter der Summe steht, bedeutet, dass du über alle Indizes summierst, die die angegebene Bedingung erfüllen. Daher ist kein Endwert notwendig. Wenn also $1 \leq i<j \leq 5 $ unter der Summe steht, summierst du über die Indizes $(i, j)$ mit $(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3),(2,4)$ usw. bis $(4,5)$.
Die $i_j$ sind jeweils neue Laufvariablen, wovon es dann immer $k$ Stück gibt. Versuch am besten mal, das für kleines $n$ Schritt für Schritt aufzuschreiben.
Das, was da sonst unter der Summe steht, bedeutet, dass du über alle Indizes summierst, die die angegebene Bedingung erfüllen. Daher ist kein Endwert notwendig. Wenn also $1 \leq i<j \leq 5 $ unter der Summe steht, summierst du über die Indizes $(i, j)$ mit $(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3),(2,4)$ usw. bis $(4,5)$.
Die $i_j$ sind jeweils neue Laufvariablen, wovon es dann immer $k$ Stück gibt. Versuch am besten mal, das für kleines $n$ Schritt für Schritt aufzuschreiben.
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cauchy
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Ich meine es verstanden zu haben.
Aus 3 gegebenen Mengen \(A_{i_{1}},A_{i_{2}},A_{i_{3}} => n = 3\) ergibt sich:
Fall k =1 :
\(|A_{i_{1}}| + |A_{i_{2}}|+|A_{i_{3}}|\) Aus der \( \sum_{ 1\leq i_{ 1 } \leq 3 }{ }{ } \) ergeben sich die Tupel \( (i_{1}),(i_{2}),(i_{3}) = (A_{i_{1}}),(A_{i_{2}}),(A_{i_{3}})\). Das \( j \) in der Nachfolgenden Schnittmenge gibt dann die jeweilige Position aus dem Tupel an.
Fall k =2 :
\(|A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} | + |A_{i_{1}} \cap A_{i_{3}}|+|A_{i_{2}} \cap A_{i_{3}}|\) Aus der \( \sum_{ 1\leq i_{ 1 } \leq i_{2} \leq 3 }{ }{ } \) ergeben sich die Tupel \((i_{1},i_{2}),(i_{1},i_{3}),(i_{2},i_{3}) = (A_{i_{1}}, A_{i_{2}}),(A_{i_{1}}, A_{i_{3}}),(A_{i_{2}}, A_{i_{3}}) \).
Fall k =3 :
\(|A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} \cap A_{i_{3}} |\) Aus der \( \sum_{ 1\leq i_{ 1 } \leq i_{2} \leq i_{3} \leq 3 }{ }{ } \) ergibt sich das Tupel \( (i_{1},i_{2},i_{3}) = (A_{i_{1}}, A_{i_{2}}, A_{i_{3}})\).
Mit Berücksichtigung der ersten Summe \( \sum_{k=1}^{n}(-1)^{ k+1 }\) ergibt sich dann:
\(|A_{i_{1}}| + |A_{i_{2}}|+|A_{i_{3}}| - ( |A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} | + |A_{i_{1}} \cap A_{i_{3}}| + |A_{i_{2}} \cap A_{i_{3}}|)
+ |A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} \cap A_{i_{3}} |\)
Das sollte korrekt sein ? ─ hn12344 17.05.2022 um 16:45
Aus 3 gegebenen Mengen \(A_{i_{1}},A_{i_{2}},A_{i_{3}} => n = 3\) ergibt sich:
Fall k =1 :
\(|A_{i_{1}}| + |A_{i_{2}}|+|A_{i_{3}}|\) Aus der \( \sum_{ 1\leq i_{ 1 } \leq 3 }{ }{ } \) ergeben sich die Tupel \( (i_{1}),(i_{2}),(i_{3}) = (A_{i_{1}}),(A_{i_{2}}),(A_{i_{3}})\). Das \( j \) in der Nachfolgenden Schnittmenge gibt dann die jeweilige Position aus dem Tupel an.
Fall k =2 :
\(|A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} | + |A_{i_{1}} \cap A_{i_{3}}|+|A_{i_{2}} \cap A_{i_{3}}|\) Aus der \( \sum_{ 1\leq i_{ 1 } \leq i_{2} \leq 3 }{ }{ } \) ergeben sich die Tupel \((i_{1},i_{2}),(i_{1},i_{3}),(i_{2},i_{3}) = (A_{i_{1}}, A_{i_{2}}),(A_{i_{1}}, A_{i_{3}}),(A_{i_{2}}, A_{i_{3}}) \).
Fall k =3 :
\(|A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} \cap A_{i_{3}} |\) Aus der \( \sum_{ 1\leq i_{ 1 } \leq i_{2} \leq i_{3} \leq 3 }{ }{ } \) ergibt sich das Tupel \( (i_{1},i_{2},i_{3}) = (A_{i_{1}}, A_{i_{2}}, A_{i_{3}})\).
Mit Berücksichtigung der ersten Summe \( \sum_{k=1}^{n}(-1)^{ k+1 }\) ergibt sich dann:
\(|A_{i_{1}}| + |A_{i_{2}}|+|A_{i_{3}}| - ( |A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} | + |A_{i_{1}} \cap A_{i_{3}}| + |A_{i_{2}} \cap A_{i_{3}}|)
+ |A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} \cap A_{i_{3}} |\)
Das sollte korrekt sein ? ─ hn12344 17.05.2022 um 16:45
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Cauchy wurde bereits informiert.
geg,; n = 3
Bei k = 1, ergibt sich für mich:
\( \sum_{ 1\leq i_{ 1} < i_{ 3 } \leq 3 }{ }{ } \left\lvert \bigcap_{ 1 \leq j \leq 1}{ }{ A_{ i_{ j } }}\right\rvert \)
Die Laufvariablen Tupel wäre dann \( (i_{1} | i_{2}),(i_{1} | i_{3}),(i_{2} | i_{3})\), ich verstehe nicht ganz wie ich jetzt weitermachen. Es fehlt ja \( j \).
Ich glaube, dass ich mich irgendwie verrannt habe. ─ hn12344 17.05.2022 um 12:41