Die Fragestellung ist etwas knifflig und nicht genau genug gestellt. Nehmen wir mal an, wir suchen einen funktionalen Zusammenhang, sprich: eine Umkehrfunktion. Dann lässt sich zumindest schon mal feststellen, dass es keinen solchen Ausdruck für ganz \( \mathbb{R} \) geben kann, da \(f\) nicht bijektiv ist. Der Wertebereich von \(f\) liegt nämlich im Intervall \((0,\infty)\). Aber auch wenn wir uns auf das Intervall \((0,\infty)\) beschränken, ist \(f\) noch immer nicht injektiv. Das lässt sich relativ leicht einsehen: Es gilt \(f(0)=1<e^{-1}+1\) und \(f(1)=e^1+1>e^{-1}+1\). Da \(f\) stetig ist, finden wir mithilfe des Zwischenwertsatzes ein \(\xi \in (0,1)\) mit \(f(\xi) = e^{-1}+1=f(-1)\), aber \(\xi \neq -1\). Man könnte \(f\) nun weiter einschränken zu einer Funktion \((0, \infty) \rightarrow (1,\infty)\). Dann wäre \(f\) streng monoton steigend und somit tatsächlich bijektiv. Es existiert also der gewünschte funktionale Zusammenhang. Ob sich diese Funktion elementar angeben lässt, ist jedoch nicht so leicht festzustellen. Dazu müsste man bestimmte Funktionenkörper und deren Erweiterungen betrachten und das ist im Allgemeinen sehr schwierig.