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Hallo Simon
Also zum ersten Teil, du musst zeigen, dass jede Lipschitzstetige Funktion stetig ist.
Kurz zur Repetition eine Funktion \(f\) heisst stetig in \(x_0\) wenn \(\forall \epsilon>0 \exists \delta>0: \forall x\in D\,\, |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)
Weiter heisst \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) lipschitz stetig falls \(\exists L\leq 0: \forall x,y\in D |f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|\).
Nun nimmst du die Zweite Aussage an und versuchts einen \(\delta-\epsilon\)-Beweis zu meinem umd die Erste Aussage zu beweisen. Versuchs mal und wenns nicht geht einfach melden.
Nun zu deine Zweiten Aufgabe, da musst du genau das zweite Kriterium Beweisen, also ein explizites L finden so dass die zweite aussage gilt. Dies ist wirklich sehr schnell gemacht, du sagst du wählst \(x,y\in (1,\infty)\) und versuchst dann \(|f(x)-fy)|\) so nach oben abzuschätzen dass du dann die Form \(L|x-y|\) erhälst für ein passendes L, dieses könnte (hust, hust achtung Spoiler... evt. 1 sein, überprüfe es aber;))
hilft das?
Viele Grüsse
Karate
Student, Punkte: 1.95K
Aber bei (0, unendlich) kann L ja nicht 1 sein. Denn z.B. 1/0,1 - 1/0,2 <= | 0,1 - 0,2 | wäre ein Widerspruch...
Also war meine Schlussfolgerung von oben tatsächlich falsch. Aber mir fällt bei (0, unendlich) auch keine geeignete Abschätzung ein. ─ txm 05.06.2021 um 15:32
Also schauen wir uns mal den ersten genannten Fall an, also \(f:(1,\infty)\rightarrow \mathbb{R}\) an.
Sei also \(x,y\in (1,\infty)\). \(|f(x)-f(y)|=|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|=|\frac{y-x}{xy}|=\frac{|y-x|}{|xy|}\stackrel{x,y>1}{<}1\cdot |x-y|\) Daraus folgt nun dass \(L=1\).
So nun hast du richtig erkannt, dass f von 0 bis unendlich nicht Lipschitz stetig ist aber den Beweis (Wiederspruchsbeweis) würde ich so nicht ganz akzeptieren, da du ja zeigen musst, dass \(\forall L\leq 0 \exists x,y\in (0,\infty)|f(x)-f(y)|>L|x-y|\).
Schaus dir sonst nochmals an. Auch im Internet gibt es gute Ansätze falls du gar keine Idee hast. ─ karate 05.06.2021 um 16:13
Ich würde dann deshalb die Abschätzung wie von dir oben beschrieben stattdessen analog nur für das in der Aufgabenstellung alternative Intervall (1, unendlich) durchführen. Oder verstehe ich was falsch? ─ txm 05.06.2021 um 14:05