Lipschitz-Stetigkeit

Aufrufe: 57     Aktiv: 05.06.2021 um 16:13

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Hallo, finde hier keinen Ansatz und könnte Hilfe gebrauchen
Vielen Dank schonmal vorab


Lg Simon
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1 Antwort
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Hallo Simon

Also zum ersten Teil, du musst zeigen, dass jede Lipschitzstetige Funktion stetig ist. 
Kurz zur Repetition eine Funktion \(f\) heisst stetig in \(x_0\) wenn \(\forall \epsilon>0 \exists \delta>0: \forall x\in D\,\, |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)
Weiter heisst \(f:D\rightarrow \mathbb{R}\) lipschitz stetig falls \(\exists L\leq 0: \forall x,y\in D |f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|\). 
Nun nimmst du die Zweite Aussage an und versuchts einen \(\delta-\epsilon\)-Beweis zu meinem umd die Erste Aussage zu beweisen. Versuchs mal und wenns nicht geht einfach melden.

Nun zu deine Zweiten Aufgabe, da musst du genau das zweite Kriterium Beweisen, also ein explizites L finden so dass die zweite aussage gilt. Dies ist wirklich sehr schnell gemacht, du sagst du wählst \(x,y\in (1,\infty)\) und versuchst dann \(|f(x)-fy)|\) so nach oben abzuschätzen dass du dann die Form \(L|x-y|\) erhälst für ein passendes L, dieses könnte (hust, hust achtung Spoiler... evt. 1 sein, überprüfe es aber;))

hilft das?

Viele Grüsse

Karate

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Student, Punkte: 1.11K
 

Moin Karate, bei b) kann doch zur Lipschitz-Stetigkeit im Intervall (0, unendlich) keine Aussage getroffen werden, da die Funktion an der Stelle x = 0 nicht definiert ist mit 1 / 0?

Ich würde dann deshalb die Abschätzung wie von dir oben beschrieben stattdessen analog nur für das in der Aufgabenstellung alternative Intervall (1, unendlich) durchführen. Oder verstehe ich was falsch?
  ─   timhdg 05.06.2021 um 14:05

Hallo Simon, aber bei b ist ja 0 nicht im Intervall es steht ja \((0,\infty)\) das heisst ja dass 0 nicht dabei ist, also macht es dir auch keine Probleme   ─   karate 05.06.2021 um 14:31

Stimmt, 0 ist ja gar nicht im Intervall. Habe ich gerade irgendwie übersehen. Okay, und da (1, unendlich) in (0, unendlich) enthalten ist, müssten die Lipschitz-Stetigkeit ja auf beide Intervalle zutreffen. Korrekt?   ─   timhdg 05.06.2021 um 14:45

Also die Zweite Aussage würde ich nochmals wirklich korrekt und genau gleich überprüfen und keine voreiligen Schritte ziehen   ─   karate 05.06.2021 um 15:12

Mhhh... Bei (1, unendlich) hat man ja 1/x <= x und 1/y <= y. Also kann man das nach oben recht schön abschätzen mit | 1/x - 1/y | <= 1 | x - y |. Also L = 1 und fertig...?
Aber bei (0, unendlich) kann L ja nicht 1 sein. Denn z.B. 1/0,1 - 1/0,2 <= | 0,1 - 0,2 | wäre ein Widerspruch...
Also war meine Schlussfolgerung von oben tatsächlich falsch. Aber mir fällt bei (0, unendlich) auch keine geeignete Abschätzung ein.
  ─   timhdg 05.06.2021 um 15:32

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Jein also deine Abschätzung funktioniert nicht einfach so, du darfst nicht im Betrag abschätzen.

Also schauen wir uns mal den ersten genannten Fall an, also \(f:(1,\infty)\rightarrow \mathbb{R}\) an.
Sei also \(x,y\in (1,\infty)\). \(|f(x)-f(y)|=|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|=|\frac{y-x}{xy}|=\frac{|y-x|}{|xy|}\stackrel{x,y>1}{<}1\cdot |x-y|\) Daraus folgt nun dass \(L=1\).

So nun hast du richtig erkannt, dass f von 0 bis unendlich nicht Lipschitz stetig ist aber den Beweis (Wiederspruchsbeweis) würde ich so nicht ganz akzeptieren, da du ja zeigen musst, dass \(\forall L\leq 0 \exists x,y\in (0,\infty)|f(x)-f(y)|>L|x-y|\).
Schaus dir sonst nochmals an. Auch im Internet gibt es gute Ansätze falls du gar keine Idee hast.
  ─   karate 05.06.2021 um 16:13

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