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ich schreib mal ein "Umgekehrtbeispiel" auf
die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ hat die x-Achse als Asymptote; addierst du was zum Bruchterm , also z.B. $f(x)=\frac{1}{x}+x+1$, wird die ganze Kurve verschoben und y=x+1 ist die neue Asymptote.
Das bringen wir jetzt mal auf einen gemeinsamen Nenner $f(x)=\frac{x²+x+1}{x}$, woraus du wiederum durch Polynomdivision die Asymptote herausrechnen kannst und dann nur noch den gebrochenrationalen Restterm hast.