Integration durch Substitution

Erste Frage Aufrufe: 269     Aktiv: 11.10.2023 um 20:56

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Meine Frage lautet:
Woher kommt der cos(t) beim zweiten Schritt?
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Moin,

der $\cos$ kommt aus der Substitutionsformel: $$\int_a^bf(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)dt$$In unserem Beispiel ist $\varphi(x)=\sin{x}$, also $$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)dt=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=\int_{\arcsin{0}}^{\arcsin{\frac{1}{2}}}\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{x}}}\sin'{x}dt$$und bekanntermaßen ist $\sin'{x}=\cos{x}$.

LG
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Ich vermute, es geht viel mehr um das $1-(\sin(t))^2=(\cos(t))^2$. Das ist der trigonometrische Pythagoras. Der Kosinus kommt dann durchs Wurzelziehen.
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