0
Die geometrische Parabeldefinition besagt, die Parabel ist die Menge aller Punkte mit gleichem Abstand zu einer Geraden und einem Punkt (Brennpunkt).
Die algebraische Definition legt eine Parabel als Graph der Funktion  ax²+bx+c fest.
Wie kann man beweisen, das beide Definitionen gleichbedeutend sind? Ich habe schon harausgefunden, dass es eine Parabel einen physikalischen Brennpunkt hat; d.h. ein auf einen Parabolspiegel senkrecht einfallender Lichtstrahl trifft immer auf einen Brennpunkt (da Einfallswinkel des Strahls gleich Ausfallswinkel). Mir würde also schon der Beweis genügen, dass dieser physikalische Brennpunkt gleich dem oben beschriebenen geometrischem Brennpunkt ist.
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 12

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Durch eine vorgegebene Leitlinie und einen Brennpunkt $F$ lässt sich eindeutig eine Parabel festlegen. Die Leitlinie ist eine Gerade, parallel zur $x$-Achse und der Brennpunkt liegt im "inneren" der Parabel. Wenn nun senkrecht von der Leitlinie ein Lichtstrahl auf diese Parabel triff, wird er so reflektiert, dass er durch den Brennpunkt geht. Nun gilt: Der Abstand von der Leitlinie zur Parabel sowie der Abstand von der Parabel zum Brennpunkt sind gleich. Aus dieser Tatsache kann man eine Gleichung aufstellen, die dann die Parabelgleichung beschreibt. 

Ist $F(x_F|y_F)$ der Brennpunkt und geht die Leitlinie durch $y=a$. Dann ist der Abstand von der Leitlinie zu einem beliebigen Punkt $(x|y)$ der Parabel gerade $\sqrt{(y-a)^2}$. Der Abstand von diesem Punkt zum Brennpunkt ist $\sqrt{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}$. Da die Abstände gleich sind, gilt folglich $$\sqrt{(y-a)^2}=\sqrt{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}.$$ Wenn man das auf die Form $y=\dots$ bringt, sieht man, dass es sich um eine quadratische Funktionsgleichung handelt. 

Die Abstandsformel kann man sich sehr leicht mit Hilfe von Pythagoras im zweidimensionalen Koordinatensystem herleiten.
Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 17.95K

 

OK, das verstehe ich; y² kürzt sich weg und übrig bleiben y, x², x und ein paar Konstanten. Vielen Dank für die Anwort!   ─   user69d0fc 06.01.2022 um 16:06

So ist es. :)   ─   cauchy 06.01.2022 um 16:31

Man kann aber gar nicht jede Parabel als quadratische Funktion darstellen, da nicht immer die Rechtseindeutigkeit gegeben ist.   ─   mathejean 06.01.2022 um 16:38

Kommentar schreiben