Gleichung in Z7 lösen

Aufrufe: 128     Aktiv: 17.04.2022 um 12:48

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Hi,

gegeben ist folgende Gleichung:

2x = 3

Ohne weitere Einschränkungen müsste man das ja mit 1/2 multiplizieren. Jedoch ist der Zahlenraum hier auf Z7 ({0,1,2,..,6} beschränkt und 1/2 ist ja kein Element hiervon. Darf man hier einfach durch 2 teilen? Also ist die Division bei solchen Restklassen definiert oder wie muss man hier herangehen? Weil 3:2 ist ja 1,5 und das ist ja auch nicht in der Menge.

Danke!
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Schüler, Punkte: 94

 
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1 Antwort
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In Z7 u.ä. vergiss die Brüche. Richtig ist: Du musst mit $2^{-1}$ multiplizieren, also mit dem multiplikativ Inversen von 2 in Z7. Also mit der Zahl u, für die gilt $2\cdot u=1$ in Z7. Dieses u findet man schnell durch Probieren (es sind ja nur 7 Zahlen, mit etwas Durchblick nur 5) auszuprobieren. Dann ist $x=3\cdot u$.
Alternativ kann man auch direkt die Gleichung $2x=3$ durch Probieren lösen.
Also: Nicht lange grübeln, probieren und in 5 Min. ist die Aufgabe erledigt.
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Lehrer/Professor, Punkte: 23.98K

 

oder man verwendet \(3\equiv10\)(mod 7). dann kann man durch 2 teilen   ─   fix 16.04.2022 um 23:19

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@fix Ich halte den Begriff "teilen" in Körpern wie Z7 für ungeeignet.   ─   mikn 17.04.2022 um 00:05

Achso. Das heisst u wäre 4?
Müsste ich dann die Gleichung 2x = 3 mit dem Faktor 4 multiplizieren? Und was kommt da dann raus? 5? Weil 12 ist ja nicht in Z7
  ─   anonym622bc 17.04.2022 um 12:01

genau. Man rechnet ja immer mit 0,1,...,6, und die 12 wird dann zu 5. Mach auch ruhig die Probe: $2\cdot 5=...$.   ─   mikn 17.04.2022 um 12:23

Vielen Dank!
Noch eine Frage: darf man die PQ-Formel bei solchen Gleichungen anwenden? Bei der gegebenen Gleichung würde das auch dazu führen, dass bei x1 und x2 1 herauskommt
  ─   anonym622bc 17.04.2022 um 12:27

Verstehe ich nicht. Hier ist keine quadratische Gleichung. Und Wurzeln in Z7 ist noch ein anderes Thema. Vorsicht bei Anwendung von Formeln.   ─   mikn 17.04.2022 um 12:38

Ich meinte eine andere, quadratische Gleichung, welche im Format der PQ-Formel vorliegt bzw. in x^2+px+q=0   ─   anonym622bc 17.04.2022 um 12:39

Ich selbst würde die pq-Formel da nie anwenden, aber das tue ich auch bei Rechnung in R nicht. Hab jetzt gerade leider keine Zeit mehr weiter darauf einzugehen.   ─   mikn 17.04.2022 um 12:41

Kein Problem, trotzdem danke!   ─   anonym622bc 17.04.2022 um 12:48

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