Hallo,
nehmen wir einen Vektor \( v \in V \) und einen Vektor \( w \in W \).
Wie können wir diese Vektoren jeweils durch die Basen beschreiben?
Nun wenden wir das direkte Produkt auf diese Vektoren an und erhalten den Vektor
$$ (v,w) \in V \oplus W $$
Nun nehmen wir mal alle Vektoren \( (v,0) \) und \( (0,w) \). Wie kannst du diese darstellen?
Versuch dich mal. Wenn doch noch Probleme auftauchen melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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Damit haben wir
$$ v = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i $$
und
$$ w = \sum\limits_{i = 1}^m \mu_i e_i $$
Wenn wir nun aber die direkte Summe anwenden, haben wir
$$ (v,0) = \sum\limits_{i =1}^n \lambda_i (e_i,0) $$
analog können wir \( (0,w) \) darstellen.
Wie können wir dann \( (v,w) \) darstellen?
Grüße Christian ─ christian_strack 17.12.2019 um 11:33
Nur bei (0,w) müsste ich ja dann erst 0 darstellen und dann w , drehe ich hierbei das in der Klammer dann um wenn ich (0,w) darstellen will ?
Also dann (0,w) = Summenzeichen von i=1 bis m, müh mit dem Index i (0, e mit dem Index i) ?
(v,w) Könnten wir Ja dann darstelln in dem wir (v,w )= Summenzeichen von i =1 bis n Lambda e , Summenzeichen i= 1 bis m und dann das von w . Dies kann man dann bestimmt noch zusammenfassen.
─ mimihopsi 17.12.2019 um 11:52
$$ (0,w) = \sum\limits_{i=1}^m \mu_i (0, e_i) $$
und damit
$$ (v,w) = \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_i (e_i,0) + \sum\limits_{i=1}^m \mu_i (0,e_i) $$
Wie viele Basisivektoren brauchen wir somit, um alle Vektoren \( (v,w) \) darstellen zu können? ─ christian_strack 17.12.2019 um 12:11
Also brauchen wir zwei Basisvektoren, da wir einmal v und einmal w darstellen müssen korrekt? ─ mimihopsi 17.12.2019 um 12:18
Nun brauchen wir alle diese Basisvektoren um \( (v,w) \in V \oplus W \) darzustellen.
Der Vektor \( (v,w) \) hat nicht nur zwei Einträge.
Nehmen wir mal beispielsweise an, das \( V = \mathbb{R}^2 \) und \( W = \mathbb{R}^3 \) ist.
Dann gilt
$$ v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \\ w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} $$
Der Vektor \( (v,w) \) hat dann die Form
$$ (v,w) = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} $$ ─ christian_strack 17.12.2019 um 12:39
Da die Dimension die Anzahl der Elemente einer Basis ist , wäre hier für V(+) W die Dimension n+m := dim V +dim W ? ─ mimihopsi 17.12.2019 um 12:49
erstmal vielen dank !
Meinst du im ersten Schritt die Standart Basis ? Also e1=(1,0) und e2=(0,1)
Das direkte Produkt mit Hilfe der Standartbasis, wenn ich diese mit v bzw. w multipliziert habe also (v,0) und (0,w)?
Weil dann verwirrt mich die Frage wie ich (v,0) darstellen kann .
Liebe grüße ─ mimihopsi 17.12.2019 um 09:53