Question

Polynomringe

Aufrufe: 667 Aktiv: 30.11.2021 um 11:21

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Teilen Sie im Polynomring PolF5 das Polynom [2]5X6 + [3]5X5 + [1]5X4 + [3]5X + [3]5 mit Rest durch [3]5X2 + [4]5X + [3]5. Verwenden Sie dabei für die Darstellung der Elemente aus F5 ausschließlich die kanonischen Repräsentanten 0, 1, 2, 3, 4.

wie kann ich von den eckigen Klammern loswerden.

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gefragt 28.11.2021 um 16:28

tsubasa
Punkte: 6

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1 Antwort

mikn · Answer 1 · 2021-11-28T17:31:52Z

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Lass die eckigen Klammern einfach weg, mache vom Algorithmus her die normale Polynomdivision, reduziere in jedem Rechenschritt jede auftretende Zahl modulo 5 (siehe auch letzten Satz der Aufgabenstellung). Bei der Division muss man mit Inversen arbeiten, siehe auch den Hinweis von @tobit.

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geantwortet 28.11.2021 um 17:31

mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

Ist das nicht so dass z.B [3]5=5=3•1+2 und der Rest ist 2 und jetzt mache ich mit 2X^2 weiter? ─ tsubasa 28.11.2021 um 17:42

Und was meinst genau mit reduziere jede auftretende Zahl modulo 5?
─ tsubasa 28.11.2021 um 17:52

@tsubasa: Im Laufe deiner Rechnung musst du mehrfach in $\mathbb{F}_5$ dividieren. Was ist z.B. $\frac{2}{3}$ in $\mathbb{F}_5$? Wir suchen also die Zahl $a\in\mathbb{F}_5$ mit $a\cdot 3=2$ in $\mathbb{F}_5$. Da es nur 5 Elemente in $\mathbb{F}_5$ gibt, können wir durch ausprobieren das gesuchte $a$ finden: Ist $a=0$? Nein, denn $0\cdot 3=0\neq 2$ in $\mathbb{F}_5$. Ist $a=1$? ... Ist $a=2$? ... Ist $a=3$?... Ist $a=4$?...

@mikn: Ich hielte es für keine gute Idee, die Rechnung zunächst in $\mathbb{Z}[X]$ oder $\mathbb{Q}[X]$ durchzuführen, um von dem Ergebnis auf das Ergebnis in $\mathbb{F}_5[X]$ zu schließen. In $\mathbb{Z}[X]$ ist die Polynomdivision gar nicht ohne Weiteres möglich, weil der Koeffizient 3 höchsten Grades des Divisors gar keine Einheit in $\mathbb{Z}$ ist. In $\mathbb{Q}[X]$ ist die Division zwar möglich, aber vom Ergebnis in $\mathbb{Q}[X]$ auf das Ergebnis in $\mathbb{F}_5[X]$ zu schließen, erscheint mir sehr schwierig. Ich halte es daher für deutlich einfacher, die Rechnung gleich in $\mathbb{F}_5[X]$ durchzuführen. Das erscheint mir auch didaktisch deutlich günstiger als der (leider häufig gegebene) Rat "Ignoriere $\mathbb{F}_5$" bei Aufgaben, die eigentlich das Verständnis von $\mathbb{F}_5$ fördern sollen.

@tsubasa: Im Laufe deiner Rechnung musst du mehrfach in $\mathbb{F}_5$ dividieren. Was ist z.B. $\frac{2}{3}$ in $\mathbb{F}_5$? Wir suchen also die Zahl $a\in\mathbb{F}_5$ mit $a\cdot 3=2$ in $\mathbb{F}_5$. Da es nur 5 Elemente  in $\mathbb{F}_5$ gibt, können wir durch ausprobieren das gesuchte $a$ finden: Ist $a=0$? Nein, denn $0\cdot 3=0\neq 2$ in $\mathbb{F}_5$. Ist $a=1$? ... Ist $a=2$? ... Ist $a=3$?... Ist $a=4$?...

@mikn: Ich hielte es für keine gute Idee, die Rechnung zunächst in $\mathbb{Z}[X]$ oder $\mathbb{Q}[X]$ durchzuführen, um von dem Ergebnis auf das Ergebnis in $\mathbb{F}_5[X]$ zu schließen. In $\mathbb{Z}[X]$ ist die Polynomdivision gar nicht ohne Weiteres möglich, weil der Koeffizient 3 höchsten Grades des Divisors gar keine Einheit in $\mathbb{Z}$ ist. In $\mathbb{Q}[X]$ ist die Division zwar möglich, aber vom Ergebnis in $\mathbb{Q}[X]$ auf das Ergebnis in $\mathbb{F}_5[X]$ zu schließen, erscheint mir sehr schwierig. Ich halte es daher für deutlich einfacher, die Rechnung gleich in $\mathbb{F}_5[X]$ durchzuführen. Das erscheint mir auch didaktisch deutlich günstiger als der (leider häufig gegebene) Rat "Ignoriere $\mathbb{F}_5$" bei Aufgaben, die eigentlich das Verständnis von $\mathbb{F}_5$ fördern sollen.

─ tobit 29.11.2021 um 08:52

@mikn Super, dann bin ich beruhigt. :-) ─ tobit 29.11.2021 um 14:21

Danke für eure Unterstützung :D ─ tsubasa 30.11.2021 um 11:20

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.