Relationen auf Eigenschaften überprüfen (Symmetrie, Transitivität und Reflexivität)

Aufrufe: 1230     Aktiv: 12.03.2020 um 17:23
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Hallo, 

ich soll folgende Relationen auf \( \mathbb{N} \setminus \{0\}  \) in Hinblick auf Symmetrie, Transitivität und Reflexivität untersuchen: 

\( R_{1} = \{a, b \in \mathbb{N}, ggt. (a,b) \not= 1\}\) 

\( R_{2} = \{a, b \in \mathbb{N}, ggt. (a,b) = 1\}\) \(= \mathbb{N} \times \mathbb{N}) \setminus R_1  \)

Sei Menge \(A = \{2, 3, 4\}\) und dann \(R_1 = \{2, 4\}\) ist, dann wäre der ggt. \(2\)

Aber kann ich daraus schließen, welche Eigenschaften die Relation hat oder geh ich das ganz falsch an?  

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Da ist (glaube ich) leider ein kleiner Verständnisfehler drin. Die Relation enthält alle Paare natürlicher Zahlen, die die Bedingung erfüllen. Also \(\mathcal R_1 =\{(1,1), (1,2),\ldots, (2,3),\ldots, (13,25),\ldots\}.\) Um jetzt Reflexivität zu überprüfen, musst du dir die Frage stellen: Ist für jedes \(a\in\mathbb N\backslash \{0\}\) das Tupel \((a,a)\in\mathcal R_1\)? Also ist \(ggT (a,a)=1\) für alle a?. Nein denn zum Beispiel \(ggT (2,2)=2\neq 1\).

So ähnlich geht es auch für Symmetrie und Transitivität. Schau dir noch mal die Definitionen an und versuche, dich strikt an diese zu halten. Wenn du noch Fragen hast, kannst du dich gern nochmal melden.

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Student, Punkte: 5.33K

 
Ok, also reicht 1 Beispiel aus, um das belegen?

Für Symmetrie wärs ja: \( (a,b \in R_1 => b,a \in R_1) \)

Symmetrie ist gegeben, weil z.B. \( (ggt. (1,2) = 1 => (2,1) = 1) \)

Für Transivität ist: \( (a,b) \in R_1 \land (b,c) \in R_1 => (a,c) \in R_1) \)

Wäre auch gegeben, da z.B. \( (ggt. (1,2) \land (2,3) = 1 => (1,3) = 1) \)

Hab ich das so richtig verstanden?   ─   mathematikmachtspaß 12.03.2020 um 11:54
Ein Beispiel reicht aus, um etwas zu widerlegen. Wenn du aber zeigen willst, dass etwas zutrifft, muss es ja für alle Zahlen gelten. Also musst du logisch argumentieren, warum das der Fall ist. Bei der Symmetrie: \(ggT(a,b)=1\) heißt ja, dass a und b keine gemeinsamem Teiler haben, dann haben b und a aber auch keine gemeinsamen Teiler und damit \(ggT(b,a)=1\). Da dies für alle a,b gilt, ist die Relation symmetrisch. Sie ist aber nicht transitiv, denn z.B. \((2,1),(1,2)\in\mathcal R\),aber \((2,2)\notin\mathcal R\).   ─   sterecht 12.03.2020 um 14:53
OK, habs glaub ich verstanden., danke !
Wenn ich jetzt selber eine Relation auf eine Menge angeben möchte, die z.B. nur symmetrisch, aber nicht transitiv oder reflexiv ist.

Das wäre ja z.B. wenn \(a\) ist mit \(b\) verheiratet, also ist auch \(b\) mit \(a\) verheiratet. Wenn ich das jetzt anhand von Mengen zeigen will, wie mach ich das dann?   ─   mathematikmachtspaß 12.03.2020 um 15:07
Sei \(M\) die Menge aller Menschen. Dann ist "verheiratet sein" eine symmetrische Relation auf \(M\). Das ist doch ein gutes Beispiel. Wenn du eines suchst, dass ein bisschen mathematischer ist, kannst du über einer beliebigen Menge die Ungleichheitsrelation nehmen.   ─   sterecht 12.03.2020 um 15:15
Aber kann ich das einfach so hinschreiben? Sollte man sich da nicht formaler ausdrücken?   ─   mathematikmachtspaß 12.03.2020 um 15:22
Formaler wäre \(V:=\{(a,b)\in M^2\ |\ \text{Person } a \text{ ist verheiratet mit Person }b\}\) bzw. \(\nabla:=\{(a,b)\in\mathbb R^2\ |\ a\neq b\}\).   ─   sterecht 12.03.2020 um 15:50
Alles klar, danke.   ─   mathematikmachtspaß 12.03.2020 um 17:23

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