Vollständige Induktion - Warum man ein bestimmtes Schritt macht

Erste Frage Aufrufe: 69     Aktiv: 15.05.2021 um 20:40

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Guten Tag! Deutsch ist nicht meine Muttersprache, deswegen leite ich euch am liebsten zu einem konkreten Timestamp in einem von Daniel Jung's Videos: https://youtu.be/nZDone5iHw0

Bis 5:23 habe ich alles verstanden. Nur den nächsten Schritt verstehe ich nicht. Was addiert man da? Warum addiert man es? Vielleicht liegen meine Fragen daran, dass ich nicht verstehe, was genau vollständige Induktion ist, was man da versucht zu beweisen und dementsprechend also warum man das alles macht.

In Wikipedia steht: "Die vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, nach der eine Aussage für alle natürlichen Zahlen bewiesen wird, die größer oder gleich einem bestimmten Startwert sind. Da es sich um unendlich viele Zahlen handelt, kann eine Herleitung nicht für jede Zahl einzeln erbracht werden."


Was versucht genau Daniel in diesem Video zu beweisen, warum macht er diesen nächsten Schritt? Ich verstehe es überhaupt nicht.

Vielen, vielen Danl für Eure/Ihre Zeitaufwand und Mühe!

Mit freundlichen Grüßen,

Gergana
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Vollständige Induktion ist eine Beweismethode, um eine Aussage der Form "Für alle natürlichen Zahlen gilt ..." zu zeigen. (Es funktioniert auch, wenn man bei einem anderen Startwert als \(1\) anfängt.) Daniel Jung zeigt in seinem Video: Für alle natürlichen Zahlen \(n\in\mathbb N\) gilt \(1+3+5+\ldots+2n-1=n^2\) (wobei links alle ungeraden Zahlen bis \(2n-1\) stehen)
Ein Induktionsbeweis gliedert sich in 3 Teile:
  1. Der Induktionsanfang. Hier musst du die Aussage für deinen Startwert, in dem Fall \(n=1\) zeigen. Das ist meist ein einfaches Einsetzen und Nachrechnen. Hier: Auf der linken Seite stehen alle ungeraden Zahlen von \(1\) bis \(2n-1=1\), also nur \(1\), und das ist das selbe wie \(n^2=1^2=1\). Damit haben wir den Induktionsanfang gezeigt.
  2. Die Induktionsannahme/Induktionsvoraussetzung/Induktionshypothese. Du nimmst an, dass du die Aussage schon für ein \(n\) gezeigt hast. Dieser Schritt ist eine reine Formalität, du schreibst einfach hin: "Angenommen, die Aussage stimmt für ein \(n\in\mathbb N\)".
  3. Der Induktionsschritt. Hier musst du unter Verwendung der Induktionsannahme zeigen, dass die zu zeigende Aussage für \(n+1\) gilt. Das heißt, in diesem Fall wollen wir zeigen, dass $$1+3+\ldots+2n-1+\underbrace{2(n+1)-1}_{\text{der Term für }n+1}=(n+1)^2$$ gilt, und wir dürfen dafür \(1+3+\ldots+2n-1=n^2\) verwenden. Das benutzen wir jetzt sofort, um auf der linken Seite alles bis auf den letzten Term zu ersetzen, und kommen auf $$1+3+\ldots+2n-1+2(n+1)-1=n^2+2(n+1)-1=n^2+2n+1=(n+1)^2,$$ was genau das ist, was wir zeigen wollten.
Damit ist der Induktionsbeweis fertig und die Aussage gezeigt. Du fragst dich jetzt vielleicht, warum das eine gültige Beweismethode ist. Im Induktionsanfang haben wir die Aussage für \(1\) gezeigt, und dann kann man den Induktionsschritt verwenden, um daraus die Aussage für \(n=2\) zu schließen, daraus wieder für \(n=3\) usw., da man das vorige ja schon gegeben hat. So erreicht man alle natürlichen Zahlen, woraus die Richtigkeit des Beweisprinzips folgt. Das schreibt man natürlich nicht jedesmal hin, da es ja ein bekanntes Beweisprinzip ist.

Du musst dir nur die drei Schritte von oben merken: Der Induktionsanfang ist meistens nur eine einfache Rechnung, die Induktionsannahme ein formaler Satz, der immer gleich lautet. Die eigentliche Arbeit steckt fast immer im Induktionsschritt, weil die Umformungen nicht immer so offensichtlich wie hier sind. Aber da hilft einfach ganz viel Übung.
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