Vollständige Induktion ist eine Beweismethode, um eine Aussage der Form "Für alle natürlichen Zahlen gilt ..." zu zeigen. (Es funktioniert auch, wenn man bei einem anderen Startwert als \(1\) anfängt.) Daniel Jung zeigt in seinem Video: Für alle natürlichen Zahlen \(n\in\mathbb N\) gilt \(1+3+5+\ldots+2n-1=n^2\) (wobei links alle ungeraden Zahlen bis \(2n-1\) stehen)
Ein Induktionsbeweis gliedert sich in 3 Teile:

1. Der Induktionsanfang. Hier musst du die Aussage für deinen Startwert, in dem Fall \(n=1\) zeigen. Das ist meist ein einfaches Einsetzen und Nachrechnen. Hier: Auf der linken Seite stehen alle ungeraden Zahlen von \(1\) bis \(2n-1=1\), also nur \(1\), und das ist das selbe wie \(n^2=1^2=1\). Damit haben wir den Induktionsanfang gezeigt.
2. Die Induktionsannahme/Induktionsvoraussetzung/Induktionshypothese. Du nimmst an, dass du die Aussage schon für ein \(n\) gezeigt hast. Dieser Schritt ist eine reine Formalität, du schreibst einfach hin: "Angenommen, die Aussage stimmt für ein \(n\in\mathbb N\)".
3. Der Induktionsschritt. Hier musst du unter Verwendung der Induktionsannahme zeigen, dass die zu zeigende Aussage für \(n+1\) gilt. Das heißt, in diesem Fall wollen wir zeigen, dass $$1+3+\ldots+2n-1+\underbrace{2(n+1)-1}_{\text{der Term für }n+1}=(n+1)^2$$ gilt, und wir dürfen dafür \(1+3+\ldots+2n-1=n^2\) verwenden. Das benutzen wir jetzt sofort, um auf der linken Seite alles bis auf den letzten Term zu ersetzen, und kommen auf $$1+3+\ldots+2n-1+2(n+1)-1=n^2+2(n+1)-1=n^2+2n+1=(n+1)^2,$$ was genau das ist, was wir zeigen wollten.

Damit ist der Induktionsbeweis fertig und die Aussage gezeigt. Du fragst dich jetzt vielleicht, warum das eine gültige Beweismethode ist. Im Induktionsanfang haben wir die Aussage für \(1\) gezeigt, und dann kann man den Induktionsschritt verwenden, um daraus die Aussage für \(n=2\) zu schließen, daraus wieder für \(n=3\) usw., da man das vorige ja schon gegeben hat. So erreicht man alle natürlichen Zahlen, woraus die Richtigkeit des Beweisprinzips folgt. Das schreibt man natürlich nicht jedesmal hin, da es ja ein bekanntes Beweisprinzip ist.

Du musst dir nur die drei Schritte von oben merken: Der Induktionsanfang ist meistens nur eine einfache Rechnung, die Induktionsannahme ein formaler Satz, der immer gleich lautet. Die eigentliche Arbeit steckt fast immer im Induktionsschritt, weil die Umformungen nicht immer so offensichtlich wie hier sind. Aber da hilft einfach ganz viel Übung.