Umgekehrte Kurvendiskussion für Polynomfunktion vierten Grades

Erste Frage Aufrufe: 418     Aktiv: 29.01.2021 um 08:34
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Die Funktionsgleichung einer Polynomfunktion vierten Grades soll bestimmt werden. Diese ist zur y-Achse symmetrisch. Damit ist die Funktion ja gerade und es fallen die ungeraden Exponenten weg. Drei Parameter/Koeffzienten müssen noch bestimmt werden.

Folgende Informationen sind noch gegeben:

1. Der Graph läuft durch den Punkt (2|1).

2. Die Funktion hat im Punkt (2|1) ein lokales Maximum.

3. An der Stelle x=1 ist die Steigung minimal. 

(1) und (2) sind klar. Aber was ist mit (3) gemeint? 

 

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Minimale Steigung bedeutet, dass die Ableitung einen Tiefpunkt hat. Aus der notwendigen Bedingung für Tiefpunkte folgt dann, dass die erste Ableitung der Ableitung, also \(f''(-1)=0\) erfüllen muss. 

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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Danke für die Erklärung, jetzt ist es mir klar! Ich habe nun versucht die Funktionsgleichung aufzustellen. Aus f(2)=1, f'(2)=0 und f''(-1)=0 ergeben sich folgende Gleichungen:

I. 16a + 4b + c = 1

II. 32a + 4b = 0

III. 12a + 2b = 0

Dieses GLS ergibt aber: a=0, b=0 und c=1 (also eine konstante Funktion)...?   ─   stefan.feiner 28.01.2021 um 22:17
Also die zweite Ableitung von ax^4+bx^2+c ist ja 12ax^2+2b und das ergibt für f''(-1) = 0 die Gleichung III, die sollte also passen. Und ja, stimmt, die konstante Funktion f(x)=1 erfüllt alle angegebenen Eigenschaften. Aber es ist ja nach einer Polynomfunktion vierten Grades gefragt - sind die gegebenen Informationen für eine solche nicht ausreichend?   ─   stefan.feiner 29.01.2021 um 08:34

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.
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Soweit ich die Fragenstellung verstehe suchst du bei (3) nach der Ableitung der Funktion, also die Steigung. Eine minimale Steigung wäre 0, also würde ich einfach sagen f'(x) = 0.

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Danke für die Antwort, bei (3) hat sich ein Fehler eingeschlichen! Richtig lautet es: An der Stelle x= -1 ist die Steigung minimal. Ist damit eine Wendestelle gemeint?   ─   stefan.feiner 28.01.2021 um 21:28
Es ist egal ob der x-Wert sich im positiven oder im negativen Bereich befindet. In einigen Fällen wird diese minimale Steigung vermutlich auch ein Wendepunkt sein. Die Steigung ist allerdings auch am "Ende" einer Aufladekurve quasi 0 also wird iese Annahme nicht immer stimmen.
Schau einfach, dass du die Ableitung von f beim Punkt -1 = 0 setzt. Also f'(-1) = 0.

EDIT: Wendepunkte haben sowohl die erste als auch die zweite Ableitung = 0. Allerdings kannst du nicht nur von der ersten Ableitung gleich auf die zweite schlussfolgern   ─   luk 28.01.2021 um 21:34
Da hast du natürlich vollkommen recht. Hab mich da vertan.   ─   luk 28.01.2021 um 21:48

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