Was stimmt an dem folgenden Induktionsbeweis nicht?

Erste Frage Aufrufe: 755     Aktiv: 05.06.2024 um 21:14
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Wir zeigen: Gegeben seien n ≥ 2 beliebige Punkte in der Ebene. Dann gibt es eine Gerade, die durch alle Punkte verläuft.

Induktionsanfang n = 2:
--Die Aussage ist wahr für n = 2, da durch zwei Punkte genau eine Gerade verläuft.

Induktionsvoraussetzung:
--Angenommen, beliebige n − 1 Punkte liegen auf einer gemeinsamen Gerade. 

Induktionsschritt:
--Sei P1,...,Pn eine Menge von n Punkten. Dann liegen laut Induktionsvoraussetzung je- weils P1,...,Pn−1 und P2,...,Pn auf einer gemeinsamen Gerade. Da beide Geraden durch P2 und Pn−1 verlaufen, müssen diese identisch sein. Also liegen beliebig viele Punkte in der Ebene immer auf einer gemeinsamen Gerade.


was ist daran falsch? Übung (FernUni Hagen-Workshop)

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Ein schönes Beispiel, dass Unsinn entstehen kann, wenn man die Ind.Vor. nicht vollständig aufschreibt.
Wenn Du von $n-1$ auf $n$ schließen willst, muss sie aufgrund des Ind. Anf. lauten:
Angenommen, für ein $\bf n\ge 3$ liegen beliebige $n-1$ Punkte auf einer gemeinsamen Geraden. Und dann siehst Du, dass Dein Ind. Schluss für $n=4$ falsch ist (also, dass 3 Punkte auf einer Geraden liegen).
Verwirrung entsteht hier auch durch den Ind.Schluss $n-1\to n$. Klarer wird es, wenn man wie üblich, $n\to\ n+1$ benutzt.
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