Was stimmt an dem folgenden Induktionsbeweis nicht?

Erste Frage Aufrufe: 74     Aktiv: 05.06.2024 um 21:14

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Wir zeigen: Gegeben seien ≥ 2 beliebige Punkte in der Ebene. Dann gibt es eine Gerade, die durch alle Punkte verläuft.

Induktionsanfang 
2:
--Die Aussage ist wahr für 2, da durch zwei Punkte genau eine Gerade verläuft.

Induktionsvoraussetzung:
--Angenommen, beliebige − 1 Punkte liegen auf einer gemeinsamen Gerade. 

Induktionsschritt:
--Sei P1,...,Peine Menge von Punkten. Dann liegen laut Induktionsvoraussetzung je- weils P1,...,Pnund P2,...,Pauf einer gemeinsamen Gerade. Da beide Geraden durch Pund Pnverlaufen, müssen diese identisch sein. Also liegen beliebig viele Punkte in der Ebene immer auf einer gemeinsamen Gerade.


was ist daran falsch? Übung (FernUni Hagen-Workshop)

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Ein schönes Beispiel, dass Unsinn entstehen kann, wenn man die Ind.Vor. nicht vollständig aufschreibt.
Wenn Du von $n-1$ auf $n$ schließen willst, muss sie aufgrund des Ind. Anf. lauten:
Angenommen, für ein $\bf n\ge 3$ liegen beliebige $n-1$ Punkte auf einer gemeinsamen Geraden. Und dann siehst Du, dass Dein Ind. Schluss für $n=4$ falsch ist (also, dass 3 Punkte auf einer Geraden liegen).
Verwirrung entsteht hier auch durch den Ind.Schluss $n-1\to n$. Klarer wird es, wenn man wie üblich, $n\to\ n+1$ benutzt.
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