Hi Revan,

ich glaube, es wäre übersichtlicher, die komplexen Zahlen als 2-dimensionale Vektoren zu schreiben (dann ist der Betrag auch einfach die euklidische Norm :-) ).
Damit könntest Du die rechte und die linke Seite einfach ausrechnen.

Weißt Du, wie 1 und i als komplexe Zahl bzw. als 2-dimensionale Vektoren aussehen?

Ich würde die Gleichung quadrieren und die Formel für den Betrag, steht ja drüber, benutzen. Mit \(z=a+b\,i\) lautet  die Ungleichung  dann : \( (a-1)^2+b^2 < a^2+(b+1)^2\). Mach dir das erstmal klar. Dann vereinfachen und schauen, was die Ungleichung für \(z\) bedeutet. Wo liegen diese \(z\)'s in der Zahlenebene?

Ups! Naja, ist nix Geheimnisvolles: komplexe Zahlen haben ja diesen imaginären Anteil. Nun kann man diesen natürlich in y-Richtung in einem ganz normalen x,y-Koordinatensystem antragen.
Aber es geht auch mit Deinem Ansatz von z = a + ib.

Deine Rechnung ist allerdings nicht richtig, da Du natürlich ZU ERST 1 und i mit z kombinieren musst und DANN den Betrag berechnen! Du hast einfach z und 1 und i quadriert, richtig? 

Anschließend brauchst Du diese Ungleichung nur vereinfachen, so dass Du eine Beziehung zwischen a und b herausbekommst. Das ist dann die Bedingung für die komplexen Zahlen, die gesucht sind.

Vorgehen: Man rechnet mit der Bedingung und einem ALLGEMEINEN z, so dass man auf die vereinfachte Bedingung für z kommt. Diese z erfüllen dann automatisch die Ungleichung, weil wir davon aus ja gerechnet haben - muss man also nicht nochmal zeigen :-)