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Hallo Zusammen

Ich stehe gerade auf der Leitung denn irgendwo hat sich ein Fehler eingeschlichen und ich finde ihn nicht. Also wir haben folgendes integral gegeben \(\int_0 ^2\int_{1-\frac{x^2}{4}}^{\sqrt{4-x^2}} f(x,y) \,dy\,dx\) und müssten nur die Ordnung der Integration invertieren. Ich habe es so machen wollen:
\(\int_0^2\int_{\sqrt{4-4y}}^{\sqrt{4-y^2}} f(x,y) \,dx\,dy\) doch das ist falsch denn wenn ich das z.b, für die Funkton \(f(x,y)=x\) berechne kriege ich zwei verschiedene Integrale. Eigentlich dachte ich man müsse nur die "Integralgrenzfunktionen" invertieren doch irgendwie bin ich verwirrt ob ich bei der Wurzel einen Vorzeichenfehler gemacht habe

Vielen Dank für eure Antwort.
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Hier ist eine Skizze des Integrationsbereichs. So etwas würde ich dir immer empfehlen, zu skizzieren, um die Übersicht zu behalten. Daran siehst du auch sofort, dass \(0\leq y\leq2\) richtig bestimmt hast und auch die obere Grenze \(x\leq\sqrt{4-y^2}\) stimmt. Aber die untere Grenze \(x\geq\sqrt{4-4y}\) ist nur für \(0\leq y\leq1\) korrekt für größere \(y\) ist diese Wurzel ja auch gar nicht mehr definiert. An der Skizze erkennst du sofort, dass für \(1\leq y\leq 2\) dann \(x\geq0\) die untere Grenze ist. Wenn du es in ein Integral schreiben willst, kannst du $$\int_0^2\int_{\sqrt{4-4\min(1,y)}}^{\sqrt{4-y^2}}f(x,y)\,dx dy$$ schreiben, zum Weiterrechnen bietet sich eher $$\int_0^1\int_{\sqrt{4-4y}}^{\sqrt{4-y^2}}f(x,y)\,dxdy+\int_1^2\int_0^{\sqrt{4-y^2}}f(x,y)\,dxdy$$an.
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ah vielen Dank, dürfte ich dich noch kurz etwas anderes Fragen also zum Gleichen Thema?   ─   karate 22.05.2021 um 22:25

Klar, schieß los.   ─   stal 22.05.2021 um 22:26

Gibt es bei dieser Aufgabe einen Trick:

Ich müsste folgendes Integral berechnen:
\(\int_A e^{x^2}\,dx\,dy\) mit \(A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 0\leq y \leq x\}\).
dabei habe ich auch einen Wechsel der Variablen vornehmen wollen und bin auf das gekommen \(\int _0^1 \int_{1-y}^1 e^{x^2} dydx\) Doch wenn ich das integriere erhalte ich \(\int_0^1 ye^{x^2} dx\) und dann bin ich ja wieder am gleichen Problem wie am Anfgang. Ist hier denn wieder etwas falsch?
  ─   karate 22.05.2021 um 22:28

Oder soll man da den Transformationssatz anwenden?   ─   karate 22.05.2021 um 22:37

Da hast du die Variablen durcheinandergebracht. Das Integral ist $$\int_0^1\int_0^xe^{x^2}\,dydx=\int_0^1\int_y^1e^{x^2}\,dxdy.$$ Dabei ist die erste Schreibweise (die, die man direkt aus der Angabe abschreiben kann) die hilfreiche, die du elementar integrieren kannst. Ein Hinweis: Wenn du nach \(y\) schon integriert hast und danach taucht noch ein \(y\) in deinem Integral auf, dann hast du sicher etwas falsch gemacht. Das Ergebnis \(\int_0^1ye^x\,dx\) sollte dir also sofort sagen, dass du dich bei den Grenzen vertan hast.   ─   stal 22.05.2021 um 22:42

Hmm irgendwie sehe ich den Punkt nicht ganz, denn ich habe es anders aufgeschrieben, da ja zuerst dx und dann dy stehen sollte laut der Aufgabe   ─   karate 22.05.2021 um 22:45

\(x\) ist in der Angabe die Variable, die nicht von der anderen Variable abhängt, also muss \(\int_0^1\ldots dx\) das äußere Integral sein, und innen dann \(\int_0^xe^{x^2}dy\)   ─   stal 22.05.2021 um 23:22

also heisst das nur weil jemand dxdy hinten hinschreibt, dass das nicht auch direkt die umgekehrte Reihenfolge der Integrationszeichen ist also zuerst nach x integrieren und dann nach y?   ─   karate 22.05.2021 um 23:27

\(\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dxdy\) heißt, dass man zuerst f von c bis d über x integriert und dann das Ergebnis von a bis b über x.
Du musst also immer zuerst eine der Variablen finden, deren Bereich nicht von der anderen Variable abhängt, diese benutzt du dann für das äußere Integral. In deinem Fall ist das die Variable \(x\). Also muss dein Integralausdruck schonmal mit \(\int_0^1\) beginnen und mit \(dx\) aufhören. Dazwischen kommt dann das entsprechende Integral für \(y\).
  ─   stal 22.05.2021 um 23:32

Aha aber wenn sie mir ja angeben \(\int_D {e^x}^2 dxdy\) dann heisst das nicht, dass ich zuerst nach x integrieren muss, sondern ich muss mit dieser variabel beginnen, die nicht von einer anderen abhängig ist?   ─   karate 22.05.2021 um 23:36

Also wenn ich mir z.b. das folgende Integral ausdenke:
\(\int_D \frac{x^2}{y^2}dxdy\) mit \(D=\{(x,y):1\leq x\leq 2, \frac{1}{x} \leq y \leq x\}\) dann müsste ich es hier so machen: \(\int_{y=1}^2\int_{x=y}^2 \frac{x^2}{y^2}dxdy +\int_{y=\frac{1}{2}}^1 \int_{x=\frac{1}{y}}^2 \frac{x^2}{y^2} dxdy\) es kommt schlussendlich auf \(\frac{9}{4}\) oder muss ich wenn ich die Variabeln vertausche, dann sofort auch die Integrale vertauschen weil das würde zwar weniger Sinn ergeben da ich dann wieder was komisches herausbekomme aber irgendwie habe ich noch nicht ganz den Durchblick was ich nun machen darf und wann ich die Integrale vertauschen darf. Darf ich die variabeln immer "ändern" ohne die Integrationsreihenfolge zu vertauschen? Wenn es aber notwendig ist darf ich dann die Integrationsreihenfolge vertauschen? oder muss ich diese Immer Tauschen sobald ich die Variabeln ändere?

Tut mir wirklich leid wenn ich so oft nachhake aber ich wäre glaube ich wirklich froh wenn man das mit dem Variabelntausch nochmals genau erklären könnte, weil in vielen Youtube-Videos ändern sie nicht einfach die Integrale sondern dann ändern sich sofort auch die Integratiosgrenzen auch bei Beispielen in der Vorlesung wie z.b. \(\int_\pi^{2\pi} \int_{y-\pi}^\pi \frac{sin(x)}{x}dxdy= \int_0^\pi \int_{pi}^{x+\pi} \frac{sin(x)}{x}dydx\), da vertauscht man sie ja auch einfach nicht. Also mir ist klar wie sie auf diese Umkehrung kommen aber ich verstehe nicht wiso man diese hier nicht machen muss.
  ─   karate 22.05.2021 um 23:40

Die Schreibweise \(\int_Df(x,y)dxdy\) ist irreführend, weil das \(dxdy\) eine Reihenfolge impliziert, die im Rest des Integrals nicht wiedergespiegelt wird. Ich bevorzuge daher die Notation \(\int_Df(x,y)\,\mathrm d^2(x,y)\), aber das ist Geschmackssache. Bei dem Integral, das du dir ausgedacht hast, hast du die Reihenfolge der Integration richtig getauscht, die Grenzen stimmen.
Variablen darfst du beliebig umbenennen, z.B. \(\int_1^2\int_{1/x}^x\frac{x^2}{y^2}dxdy=\int_1^2\int_{1/y}^y\frac{y^2}{x^2}dydx\). Hier wurde aber nicht die Integrationsreihenfolge vertauscht, nur die Namen der Variablen geändert. Das ändert natürlich nicht den Wert des Integrals. Wenn du die Integrationsreihenfolge vertauschen möchtest, dann musst du auch die Grenzen ändern.
  ─   stal 24.05.2021 um 11:02

Hallo
Okei vielen Dank, ja das ist mir gar nie bewusst geworden dass dxdy eigentlich nicht die geschickteste Notation ist. Aber ich hätte doch bei meinem Integral oben auch einfach den Satz von Fubini anwenden können, dann hätte ich doch auch direkt \(\int_D \frac{x^2}{y^2} dxdy=\int_{y=1/x}^x \int_{x=1}^2 \frac{x^2}{y^2} dxdy=\int_{x=1}^2 \int_{y=1/x}^x \frac{x^2}{y^2} dydx\) berechnen können oder?
  ─   karate 24.05.2021 um 11:37

Der Satz von Fubini ist gerade, was wir benutzen, um die Integrationsreihenfolge zu verändern. Beachte, dass Fubini in seiner einfachsten Form \(\int_a^b\int_c^df(x,y)dxdy=\int_c^d\int_a^bf(x,y)dydx\) nur für Rechtecke funktioniert, also wenn die Grenzen nicht voneinander abhängen. Du kannst auch sehen, dass die Gleichung, die du hingeschrieben hast, nicht stimmen kann, denn das erste Integral hat als Ergebnis eine Funktion von \(x\) und das zweite Integral hat als Ergebnis eine Zahl.
Wenn man als Integrationsbereich kein Rechteck, sondern eine kompliziertere Fläche hat, dann muss man die Integrationsgrenzen eben anpassen.
  ─   stal 24.05.2021 um 12:38

aha aber ist dass dann also gerade ein Zufall, dass wenn ich die Integrationsordnung tausche und daher auch die Grenzen anpasse dass ich dann \(\int_{x=1}^2 \int_{y=1/x}^x ... dydx\) erhalte (also das gleiche wie wenn ich die Integrale einfach "blind" tausche. Mir ist natürlich klar dass das nicht überall/sehr selten geht aber würde mich wundernehmen ob das nun wirklich einfach ein Zufall ist?)   ─   karate 24.05.2021 um 12:45

Sorry, dass ich solange nicht geantwortet habe; ich warüber Pfingsten unterwegs.
Ich verstehe nicht ganz, was du meinst, das Integral ist ja \(\int_{x=1}^2\int_{y=1/x}^x\frac{x^2}{y^2}dydx=\int_{y=1/2}^1\int_{x=1/y}^2\frac{x^2}{y^2}\,dxdy+\int_{y=1}^2\int_{x=y}^2\frac{x^2}{y^2}\,dxdy\). Du erhälst das eine also nicht aus dem anderen, indem du einfach die Integrale vertauscht, die Grenzen ändern sich ja.
  ─   stal 26.05.2021 um 08:32

ah kein Problem. Okei super fielen Dank!   ─   karate 27.05.2021 um 17:13

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