Bei der b)

Um den Definitions- und Wertebereich anzugeben, schaust du dir einfach an, aus welchem Vektorraum dein Vektor stammen könnte. Beim ersten zb: Die Abbildung f schickt einen Vektor mit 3 Einträgen auf einen Vektor mit 2 Einträgen, man könnte also K³ als Definitionsbereich und K² als Wertebereich nehmen. K ist hierbei ein Körper, wie die reellen oder komplexen Zahlen. Für die Linearität musst du dann die Definition anwenden: Eine Abbildung f heißt linear, wenn \( f(\lambda x+y)=\lambda f(x)+f(y) \)  \( \forall x,y\in V, \forall \lambda \in K\) gilt. Setz also mal \( \lambda x+y \) in die Abbildung ein, mit den Vektoren \( x = (x_1, x_2,x_3)\) und \( y=(y_1,y_2,y_3)\), und schau ob dann auch wirklich \( \lambda f(x)+f(y) \) rauskommt.

Zur c)

Lineare Abbildungen haben immer eine Matrix, aber wie die Matrix genau aussieht hängt ganz allein von der Wahl der Basisvektoren ab. Da hier nicht explizit eine Basis angegeben wurde, können wir uns das Leben leicht machen und einfach die kanonische Standardbasis wählen. Die Spaltenvektoren dieser Basis sind einfach die Einheitsvektoren  \( e^{(n)}_i\), also die Vektoren der Länge n, die nur eine 1 in i-ter Zeile haben. Für n = 3 wären die Einheitsvektoren halt \( e_1 = (1, 0, 0)^T\),\( e_2 = (0, 1, 0)^T\) und \( e_3 = (0, 0, 1)^T\). Um jetzt eine Abbildungsmatrix zu bestimmen machst du ganz einfach folgendes: Du setzt jeden Einheitsvektor in die lineare Abbildung ein und rechnest halt das Bild von dem Einheitsvektor aus. Das Ergebnis was rauskommt nimmst du als Spaltenvektor deiner Abbildungsmatrix. Wenn man zb \( e_1\) in f einsetzt (vorausgesetzt, f ist linear), dann bekommt man: \( f(e_1) = (1,-3)^T\), also wäre deine erste Spalte in der Abbildungsmatrix halt \( (1,-3)^T\). Das machst du dann für jede lineare Abbildung.

Bei der d)

Du kennst jetzt die Abbildungsmatrizen. Wenn man diese Aufgabe liest, dann scheint es so, als wären f und g beide linear, weil ansonsten hätten sie keine Abbildungsmatrix. Weil f eine Abbildung aus dem K³ in den K² ist, ist die Abbildungsmatrix von f auf jeden Fall nicht quadratisch, die von g aber schon, also kann es sein, dass zb f * g funktioniert, aber g * f nicht, weil damit die Matrixmultiplikation von A * B funktionieren kann, muss A genausoviele Spalten haben wie B Zeilen hat

Ich mach dir einmal die Linearität von f vor:

Also wir wollen nachrechnen, dass \( f(\lambda x + y)= \lambda f(x) + f(y)\) ist, also setzen wir ein:

\( f(\lambda x + y) = f\begin{pmatrix} \lambda x_1+y_1 \\ \lambda x_2+y_2 \\ \lambda x_3+y_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\lambda x_1+y_1) + 3(\lambda x_3+y_3) \\ 2(\lambda x_2+y_2) - 3( \lambda x_1+y_1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x_1+y_1 + 3\lambda x_3+3y_3 \\ 2\lambda x_2+2y_2 - 3 \lambda x_1-3y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x_1+ 3\lambda x_3+y_1 +3y_3 \\ 2\lambda x_2- 3 \lambda x_1+2y_2 -3y_1 \end{pmatrix} = \)  \( \begin{pmatrix} \lambda x_1 + 3\lambda x_3 \\ 2\lambda x_2 - 3\lambda x_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 + 3y_3 \\ 2y_2 - 3y_1 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}  x_1 + 3 x_3 \\ 2 x_2 - 3 x_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 + 3y_3 \\ 2y_2 - 3y_1 \end{pmatrix}  = \lambda f \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\  x_3\end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\  y_3\end{pmatrix} = \lambda f(x) + f(y) \)

So, ich hoffe ich habe da jetzt keinen Fehler drinne, aber so sollte es funktionieren. Bei der Abbildung g geht das ganze dann analog, bei h ebenso. An sich kannst du immer sicher, dass eine Abbildung linear ist, wenn da nur + und - und konstante Vorfaktoren verwenden werdet, Sachen wie Betrag, ², Wurzel, sin oder sonstiges sind immer ein starkes Indiz dafür, dass die Abbildung nicht linear ist (man sollte es trotzdem einmal kurz prüfen!) Bei der h scheitert die Linearität an dem Betrag in der dritten Zeile. Für \( \lambda < 0 \) wäre der Betrag nicht linear, denn \( |\lambda x| \neq \lambda|x| \) , also sieht man schon mit einem einfachen Gegenbeispiel bei der h dass nicht linear ist.

Zu deiner zweiten Frage: Es reicht nicht nur einen Einheitsvektor in die Abbildung reinzuschicken, man muss alle reinschicken um auf die Abbildungsmatrix zu kommen, ich machs dir für die f einmal vor:

f ist eine Abbildung vom K³ in den K², also müssen wir uns die Bilder von \( e_1= \begin{pmatrix}  1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( e_2= \begin{pmatrix}  0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( e_3= \begin{pmatrix}  0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) anschauen, heisst im Klartext: Wir setzen diese 3 Vektoren in die Abbildung ein und schauen uns an was rauskommt:

\( f(e_1) =  f \begin{pmatrix}  1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  1 \\ -3 \end{pmatrix}\), \( f(e_2)= \begin{pmatrix}  0 \\ 2\end{pmatrix}\) und \( f(e_3)= \begin{pmatrix}  3 \\ 0  \end{pmatrix}\), diese Vektoren bilden nun die Spaltenvektoren unserer Darstellungsmatrix, also:

\( M_{E,E}(f) =  \begin{pmatrix}  1 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & 0  \end{pmatrix} \)

Das ist jetzt die Abbildungsmatrix von f unter Standardbasis. Vielleicht fällt dir ja auf, dass die Matrix sehr änhlich aussieht zu der Abbildungsvorschrift die man am Anfang stehen hatte. Das ist so eine Eigenschaft, wenn man die Standardbasis verwendet, man braucht meistens nicht viel rumzurechnen und kann es meist direkt ablesen, aber davor sollte man es einmal geübt haben. Auf die selbe Weise ermittelst du nun eine Matrix für g