Konvergenz von rekursiv definierten Folgen

Aufrufe: 151     Aktiv: vor 4 Monaten, 2 Wochen

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Es geht um folgende Aufgabe:

Wie man bei so einer Aufgabe vorgehen muss ist mir klar. Ich bestimme zuerst einen möglichen Grenzwert unter der Annahme, dass die Folge konvergiert. Dann muss ich zeigen ob die Folge monoton ist und die Beschränktheit nachweisen. 

Bei der Monotonie tue ich mich allerdings etwas schwer. Meine Vermutung ist, dass diese Folge monoton wachsend ist. Könnte mir jemand weiterhelfen um die Monotonie zu überprüfen?

gefragt vor 4 Monaten, 2 Wochen
f
freakbob999,
Punkte: 28

 

Vorweg schonmal: Den Grenzwert bestimmt man nicht zuerst, sondern erst wenn die Konvergenz gesichert ist. Wenn keine Konvergenz vorliegt, ist die Grenzwertberechnung bedeutungslos.   ─   mikn, vor 4 Monaten, 2 Wochen

Nicht ganz. Ich habe geschrieben dass man zuerst einen möglichen Grenzwert bestimmt unter der Annahme die Folge sei konvergent. Und das ist eine gängige Vorgehensweise bei solchen Aufgaben. In diesem Fall ist ein möglicher Grenzwert 1/6. Mit diesem Grenzwert kann man jetzt die Beschränktheit zeigen. Soweit komme ich auch. Nur bei der Monotonie bin ich mir unsicher wie ich da am besten vorgehe.
  ─   freakbob999, vor 4 Monaten, 2 Wochen

Ok, der mögliche Grenzwert kann helfen auf Vermutungen für Schranken zu kommen. Was genau hast Du als Beschränktheit gezeigt?   ─   mikn, vor 4 Monaten, 2 Wochen

Die Vermutung ist ja, dass die Folge durch 1/10, also dem Startwert und 1/6 beschränkt ist. Daraus ergibt sich die Ungleichung 1/10 <= an < 1/6. Das lässt sich wiederum mit vollständiger Induktion zeigen.   ─   freakbob999, vor 4 Monaten, 2 Wochen
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1 Antwort
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Ok, unter der Annahme, dass \(a_n\in [\frac1{10},\frac16]\) bereits bewiesen ist:

\(\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2\,(1-3\,a_n)\ge 2\,(1-3\frac16))=1\), also \((a_n)\) monoton steigend.

geantwortet vor 4 Monaten, 2 Wochen
m
mikn
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