Zunächst müssen wir erstmal die \(3\) ausklammern, dann kommen wir auf

\( f(x) = 3 ( x^2 - 2x + \frac{5}{3} ) \)

Nun wollen wir \( x^2 - 2x + \frac{5}{3} \) umformen zu einem Ausdruck \((x-a)^2 + b = x^2 - 2ax + a^2 + b \). Es soll also \(-2 = -2a\) und \( \frac{5}{3} = a^2 + b \) sein. Die erste Gleichung liefert \(a=1\). Das setzen wir nun in die zweite Gleichung ein und bekommen \( \frac{5}{3} = 1^2 + b = 1 + b\). Dies liefert \(b = \frac{5}{3} - 1\). Die Werte von \(a\) und \(b\) setzen wir nun oben ein und erhalten \( x^2 - 2x + \frac{5}{3} = (x-1)^2 + \frac{5}{3}-1 \).

Hieraus folgt

\( f(x) = 3 ( x^2 - 2x + \frac{5}{3} ) = 3 ( (x-1)^2 + \frac{5}{3} - 1) = 3(x-1)^2 + 5 - 3 = 3(x-1)^2 + 2 \)