Umschreiben/ kurzen

Aufrufe: 88     Aktiv: 13.01.2022 um 18:49

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Darf man (a-4)(a-3)(a-2)(a-1) als (a-4)! umschreiben?
bzw was wäre die richtige umschreibung?
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(a-4)! ist falsch. $(a-4)! = 1\cdot2\cdot3\cdot .....(a-5)\cdot(a-4)$

Du könntest doch das Ganze ausmultiplizieren.

Die Idee mit der Fakultät lässt sich ja weiterdenken. Dann müsstest du aber einen Bruch hinschreiben, der gekürzt den Ausdruck ergibt.
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Ich verstehe nicht so ganz wo ich den bruch schreiben sollte. Also meine genaue Aufgabe ist es, die n-te Ableitung von (1+x)^a auf zu stellen. Dort kommen immer höhere werte raus (a-n).......(a-2)(a-1)*a(1+x)^(a-n) und ich weiss nicht so ganz wie ich diesen linken Teil kürzen könnte, weil die Summen ja immer größer werden. Haben Sie vielleicht einen Vorschlag? :/   ─   nicolastu 12.01.2022 um 02:28

Ich hatte überlegt, ob man so etwas wie den Binominalkoeffizienten nehmen kann. Aber das passt nicht, weil man dann zwar den richtigen Faktor im Zähler bekommt, aber im Nenner bleibt noch n! übrig, womit man nichts anfangen kann. Wie wäre es, wenn du das als Produkt schreibst?
$\prod_{k=1}^n{(a-k+1)}$
Der erste Faktor müsste übrigens (a-n+1) sein.
  ─   lernspass 12.01.2022 um 10:30

Oder den Binominalkoeffizienten multipliziert mir n! ?   ─   lernspass 12.01.2022 um 10:32

\(prod_{k=1}^n{(a-k))*(ax+a)^(a-k)}
Kann ich es so schreiben? Ah nein, da fehlt fie erste Ableitung dann... :/
  ─   nicolastu 12.01.2022 um 12:01

Das $(x+1)^{a-n}$ gehört nicht in das Produkt. Das Produkt besteht nur aus den Faktoren, die du bei jeder weiteren Ableitung dazu bekommst.   ─   lernspass 13.01.2022 um 10:47

Wie soll ich das also schreiben? Das a(x+1)^(a-n) musst ja letztendlich auch da sein, sonst wurde das nicht die ganze Ableitung sein. Außerdem, wenn wir diesen Produkt schreiben also: prod_{k=1}^n (a-k) dann habe ich bemerk, dass die erste Ableitung doch nicht stimmt f'(x)=a(x+1)^(a-1).
Was musste ich dann dazu schreiben damit die erste Ableitung auch stimmt? :/
  ─   nicolastu 13.01.2022 um 12:58

Ich glaube ich habe es hinnbekommen mit (a-1)!/(a-k)! *a(x+a)^(a-k) :D. Danke für die Hilfe :)   ─   nicolastu 13.01.2022 um 13:16

Das ist ja genau der Binominalkoeffizient multipliziert mit k!. Du kannst $(a-1)! \cdot a$ zusammenfassen als $a!$. Ich hatte dir in meinem Produkt übrigens $(a-k+1)$ reingeschrieben. Dann stimmt das auch für die 1. Ableitung und alle anderen auch. ;)   ─   lernspass 13.01.2022 um 13:30

,,Das ist ja genau der Binominalkoeffizient multipliziert mit k!." Stimmt! Dankeschön, ich musste das übersehen haben :)   ─   nicolastu 13.01.2022 um 15:37

Wenn für dich jetzt alles geklärt ist, dann mach doch noch einen Haken an die Antwort. ;)   ─   lernspass 13.01.2022 um 18:49

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