Stetigkeit im $R^2$ zeigen

Aufrufe: 145     Aktiv: 09.05.2022 um 11:13

1
Betrachtet wird die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\(
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & ,(x, y) \neq(0,0) \\
0 & ,(x, y)=(0,0)
\end{array}\right.
\)
Zeigen Sie, dass für jede Gerade \( G:=\left\{\lambda\left(x_{0}, y_{0}\right) \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\} \) mit \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \neq(0,0) \) die Funktion \( \left.f\right|_{G} \) stetig ist.

Wir haben noch folgenden Tipp von unserem Prof bekommen:
Wir sollten zuerst zeigen dass eine Folge \( \left(\lambda_{n}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} \) genau dann in \( \mathbb{R}^{2} \) konvergiert, wenn \( \left(\lambda_{n}\right) \) in \( \mathbb{R} \) konvergiert.

Also ich habe jetzt schonmal die Unstetigkeit von \( \mathrm{f} \) in \( (0,0) \) ohne die Einschräkung bewiesen. Aber ich verstehe nicht so recht, was die Einschränkung da macht, die ändert doch nur den Definitionsbereich, sonst passiert da doch nicht so viel?
Zu dem Hinweis:
\( \left(\lambda_{n}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} \) soll doch eine Gerade sein, aber die einzige Gerade die konvergiert wäre ja eine Konstante. Warum soll ich das dann nochmal extra allgemein zeigen? Also was bringt mir dieser Tipp?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 28

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
1

Jedenfalls kannst du die Gerade in f(x,y) "einsetzen",  sodass  f zu einer Funktion von λ und den Konstanten x_0 und y_0 wird.

Dann muss man vermutlich nach x_0 = 0 oder x_0 != 0 fallunterscheiden.

Im einen Fall ist die Funktion dann konstant 0,  im anderen Fall dominiert das λ^3 im Zähler über das λ^2 im Nenner...

Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 265

 

Vielen Dank erstmal für deine Antwort. Da ich hier die Aussage allgemein zeigen soll, kann ich ja leider nicht einfach eine Folge herausnehmen. Deswegen muss ich, wie du oben ja erwähnt hast, das ganze "einsetzen". Ich verstehe nur nicht so recht was damit gemeint ist. Meinst du damit sowas wie: $f(\lambda(x_0,y_0))$, oder $\lambda f((x_0,y_0))$, oder $x= \lambda (x_0,0), y= \lambda (0,y_0)$?
  ─   ax.ela.n 06.05.2022 um 15:48

Ich meinte ersteres; $f(λ(x0,y0))$, das ist aber im gegebenen Kontext dasselbe wie $f(λ·x0 , λ·y0)$,
weil ein 2-dimensionaler Punkt mit einer reellen Zahl multipliziert(bzw "skaliert"), eben einfach beide Koordinaten mit dieser Zahl multipliziert bekommt.

Das wesentliche und ein wenig überraschende am gegebenen Beispiel ist, dass entlang jeder Geraden die Funktion stetig ist. Würdest du dich aber z.b. entlang einer die y-Achse anschmiegenden(nach rechts offenen) Parabel dem Punkt (0,0) nähern, dann würde man die Unstetigkeit, die du davor bereits richtig erkannt hast, auch entlang einer (nicht-geraden) Linie erkennen können.
  ─   mathe42 09.05.2022 um 11:13

Kommentar schreiben

1
Es ist \(G\) ein Banachraum (sagt man unter Banachraum?). Nutze also die Stetigkeitsdefiniton für normierte Räume (am besten die mit den Folgen) wie gewohnt und lass dich nicht verwirren.  Weißt du jetzt wie du vorgehen musst?
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 8.15K

 

Kommentar schreiben