Hier geht einiges durcheinander, ich verstehe nicht, was Du gemacht hast (schreib keine Romane, lade Deine Rechnung als Foto hoch).
Es geht ohne Lagrange viel einfacher, aber gut, dann mit: Was ist f, was ist g? Dann geht es los, und mit Lagrange identifiziert man nur Kandidaten für Extrema unter der NB. Ob es wirklich welche sind, und ggf. ob Max oder Min, muss zusätzlich (anders) geprüft werden. Lagrange liefert hier als Kandidat nur (5,5).
Ohne Lagrange, mit Schulmathe, geht es einfacher: NB umstellen, in Funktion einsetzen, normale Extremwertberechnung. Diese führt auch auf (5,5), und damit kann man auch nachweisen, dass dort ein Max vorliegt.
In der zweiten Variante gelangt man auf Deine "Funktion", die sowieso eine Gleichung  ist und keine Funktion. Aber nur, wenn man sie richtig liest. Warum setzt Du keine Klammern? Verwende stets Klammern oder setze mathematisches in LaTeX.

Außer Deiner Rechnung hast Du uns die Aufgabenstellung vorenthalten (bitte bei jeder Frage im Forum Aufgabenstellung im Original und eigene Rechnung mitliefern).
Dort steht vermutlich, dass $x\in [0,10]$ liegen muss. Und wie bei jeder Extremwertberechnung muss man die Intervallgrenzen gesondert prüfen. Auf ganz $\mathbb{R}$ hat $f$ nur das Extremum (5,5).

Denk auch daran, beantwortete Fragen als solche abzuhaken (Anleitung siehe e-mail).