Sei $M$ der Mittelpunkt des kleinen (rollenden) Kreises. Dann erreicht man $P$ durch Vektoraddition: $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}$.
Ich rechne lieber komplex, interpretiere $M$ und $P$ als komplexe Zahlen $z_M$ bzw. $z_P$. Dann ist $z_M=3R\,e^{i\varphi}$ und $\overrightarrow{MP}=R\,e^{i3\varphi}$ (siehe Bild) und damit $z_P=3R\,e^{i\varphi}+R\,e^{i3\varphi}$. Das aufgeteilt in Real- und Imaginärteil gibt die 2d-Darstellung der Kurve. Deren Längenberechnung führt dann auf das im Tipp angegebene Integral.