Ich möchte untersuchen, ob folgende Funktion lipschitz-stetig ist. 
$$f:(0,\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x):=\frac{1}{x}$$
Mein bisheriger Rechenweg lautet:
$$|f(x)-f(y)|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|=\left|\frac{y-x}{xy}\right|=|x-y|\cdot\left|\frac{1}{xy}\right|$$
Jetzt habe ich schon mal das gewünschte |x-y| abgesondert, muss aber noch den Bruch nach oben abschätzen. Das ist aber schwierig, denn der Definitionsbereich nähert sich beliebig an 0 an und somit wird der Bruch exorbitant groß.