1/x lipschitz-stetig auf (0,oo) -> R

Aufrufe: 62     Aktiv: 28.05.2021 um 19:59

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Ich möchte untersuchen, ob folgende Funktion lipschitz-stetig ist. 
$$f:(0,\infty)\to\mathbb{R}, \qquad f(x):=\frac{1}{x}$$
Mein bisheriger Rechenweg lautet:
$$|f(x)-f(y)|=\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|=\left|\frac{y-x}{xy}\right|=|x-y|\cdot\left|\frac{1}{xy}\right|$$
Jetzt habe ich schon mal das gewünschte |x-y| abgesondert, muss aber noch den Bruch nach oben abschätzen. Das ist aber schwierig, denn der Definitionsbereich nähert sich beliebig an 0 an und somit wird der Bruch exorbitant groß.
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Ich hab die Lösung. Ich war ja bereits nah dran. Für \( (0,\infty) \) ist es aus o.g. Gründen nicht lipschitz-stetig, aber für jede Konstante \( \epsilon \) mit \( (\epsilon, \infty ) \) kann ich den Bruch gegen \( \frac{1}{e^{-2}} \) abschätzen.
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