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Hallo
Wenn du die Hessematrix ausgerechnet hast, dann sieht die so aus
Und jetzt sollst du einfach jedes x durch eine -1 und jedes y durch eine 2 ersetzen. Du erhälst eine Matrix, in der nur Zahlenwerte vorkommen aber keine Variablen \(x,y\) mehr. Von dieser Matrix sollst du dann die Eigenwerte berechnen.
PS: Ich bin dieser Typ, der gestern auch geantwortet hat.
Wenn du die Hessematrix ausgerechnet hast, dann sieht die so aus
\begin{pmatrix}f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\
f_{xy}(x,y) & f_{yy}(x,y)
\end{pmatrix}
f_{xy}(x,y) & f_{yy}(x,y)
\end{pmatrix}
Und jetzt sollst du einfach jedes x durch eine -1 und jedes y durch eine 2 ersetzen. Du erhälst eine Matrix, in der nur Zahlenwerte vorkommen aber keine Variablen \(x,y\) mehr. Von dieser Matrix sollst du dann die Eigenwerte berechnen.
PS: Ich bin dieser Typ, der gestern auch geantwortet hat.
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cunni
Punkte: 705
Punkte: 705
Das verstehe ich nicht. Du sollst in die Hessematrix, in der ja ganz viele x und y vorkommen, jedes x durch -1 und y durch 2 ersetzen. Dann sollst du alle 4 Komponenten der Matrix ausrechnen.
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cunni
30.04.2021 um 22:27
Ich habe dir doch gestern ein Bild mit der korrekten Hessematrix zugesendet. Nimm doch einfach das und ersetze alle x durch -1 und alle y durch 2.
Ich weiß einfach nicht was dein
-1 2 -1 2
-1 2 -1 2
bedeuten soll. Du sollst die Hessematrix nehmen. ─ cunni 30.04.2021 um 22:33
Ich weiß einfach nicht was dein
-1 2 -1 2
-1 2 -1 2
bedeuten soll. Du sollst die Hessematrix nehmen. ─ cunni 30.04.2021 um 22:33
Meinst du in \( f_{xy} \)? Das ist der Funktionsterm, den du erhälst, wenn du \(f\) nach x und dann nach y ableitest. Dieser Term enthält natürlich immernoch Variablen x und y und in diese Variablen sollst du -1 und 2 einsetzen.
Ich habe dir doch gestern die Hessematrix geschickt. Du hast doch auch schon festgestellt, dass du \( f_{xy} \) korrekt berechnet hast. ─ cunni 30.04.2021 um 22:40
Ich habe dir doch gestern die Hessematrix geschickt. Du hast doch auch schon festgestellt, dass du \( f_{xy} \) korrekt berechnet hast. ─ cunni 30.04.2021 um 22:40
Für x setzt du -1 ein und für y setzt du 2 ein. Das ist doch ein Term mit 2 Variablen.
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cunni
30.04.2021 um 22:43
HÄÄÄ? Ich habe dir gestern die Hessematrix geschickt. Mit einem Bild. Da stehen RIESIGE Terme. Mit ganz vielen x und y drin.
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cunni
30.04.2021 um 22:46
Soll ich die jetzt abtippen oder was?
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cunni
30.04.2021 um 22:48
Ja, da sollst du die Werte der kritischen Stelle (-1,2) einsetzen. Bitte sage mir welche Matrix du dann rausbekommst. Ich habe die auch gerade berechnet. Das ist ganz einfach, weil da viele Nullterme entstehen.
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cunni
30.04.2021 um 22:50
Du sollst keine Determinanten berechnen. Bitte gebe mir einfach die Hessematrix an der kritischen Stelle.
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cunni
30.04.2021 um 22:53
Kritische Stelle ist da, wo x = -1 und y = 2
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cunni
30.04.2021 um 22:55
Ich checke dein Problem nicht. Wir haben gestern herausgefunden, dass die Hessematrix folgendermaßen lautet
\[ H_f (x,y) =\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{x^2+2x-y^2+4y} } - \frac{(2x+2)^2}{4(x^2+2x-y^2+4y)^{3/2}} & -\frac{(2x+2)(4-2y)}{4(x^2+2x-y^2+4y)^{3/2}} \\
-\frac{(2x+2)(4-2y)}{4(x^2+2x-y^2+4y)^{3/2}}& - \frac{1}{\sqrt{x^2+2x-y^2+4y} } - \frac{(4-2y)^2}{4(x^2+2x-y^2+4y)^{3/2}}\\
\end{pmatrix} \]
Und was ist jetzt so schwer daran die Matrix \( H_f(-1,2) \) zu berechnen? ─ cunni 30.04.2021 um 23:03
\[ H_f (x,y) =\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{x^2+2x-y^2+4y} } - \frac{(2x+2)^2}{4(x^2+2x-y^2+4y)^{3/2}} & -\frac{(2x+2)(4-2y)}{4(x^2+2x-y^2+4y)^{3/2}} \\
-\frac{(2x+2)(4-2y)}{4(x^2+2x-y^2+4y)^{3/2}}& - \frac{1}{\sqrt{x^2+2x-y^2+4y} } - \frac{(4-2y)^2}{4(x^2+2x-y^2+4y)^{3/2}}\\
\end{pmatrix} \]
Und was ist jetzt so schwer daran die Matrix \( H_f(-1,2) \) zu berechnen? ─ cunni 30.04.2021 um 23:03
Ja, du sollst einfach jedes x durch -1 und jedes y durch 2 ersetzen. Die Matrix, die dann rauskommt ist sehr einfach. Bitte sende sie mir, damit ich sehe, dass wir wieder auf einem Level sind.
─
cunni
30.04.2021 um 23:06
Das Ergebnis ist sehr einfach. Ich werde das schon verstehen, selbst wenn du nicht den Mathemodus verwendest. Ansonsten geht natürlich auch immer in Bild.
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cunni
30.04.2021 um 23:10
Dann mach halt einen neuen Kommentar. Da kannst du Bilder einfügen. Ich meine eine Antwort unter deine Frage.
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cunni
30.04.2021 um 23:11
Wie lautet deine Hessematrix an der Stelle -1, 2? Gib mir doch einfach die 4 Werte an.
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cunni
30.04.2021 um 23:18
Das ist nicht richtig
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cunni
30.04.2021 um 23:32
Verwendest du gerade die Hessematrix, die ich dir geschickt habe?
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cunni
30.04.2021 um 23:33
Die Nullen für \(f_{xy}\) sind korrekt. Der Rest nicht.
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cunni
30.04.2021 um 23:35
Ich bererechne den Werte oben links.:
\[ f_{xx}(-1,2) = \frac{1}{ \sqrt{(-1)^2+2(-1)-2^2+4\cdot 2} } - \frac{(\overbrace{2(-1)+2}^{=0})^2}{\ldots} = \frac{1}{\sqrt{1-2-4+8} }=\frac{1}{\sqrt{3} } \] ─ cunni 30.04.2021 um 23:44
\[ f_{xx}(-1,2) = \frac{1}{ \sqrt{(-1)^2+2(-1)-2^2+4\cdot 2} } - \frac{(\overbrace{2(-1)+2}^{=0})^2}{\ldots} = \frac{1}{\sqrt{1-2-4+8} }=\frac{1}{\sqrt{3} } \] ─ cunni 30.04.2021 um 23:44
Bitte schaue nach, wo du deine Fehler machst und dann versuche selbst den Wert für \( f_{yy}(-1;2) \)
─
cunni
30.04.2021 um 23:46
Wieso runden? Wieso Taschenrechner? Ich habe den Wert von \( f_{xx}(-1;2) \) doch auch per Hand berchnet ohne Taschenrechner.
btw.: Normalerweise frage ich sowas nicht aber ich sitze jetzt schon dermaßen lange hier dran. Was studierst du eigentlich und für welchen Kurs bearbeitest du diese Aufgabe? Oder bist du noch Schüler? ─ cunni 30.04.2021 um 23:50
btw.: Normalerweise frage ich sowas nicht aber ich sitze jetzt schon dermaßen lange hier dran. Was studierst du eigentlich und für welchen Kurs bearbeitest du diese Aufgabe? Oder bist du noch Schüler? ─ cunni 30.04.2021 um 23:50
Normalerweise rundet man nicht in der Mathematik. Ein Ergebnis wie \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) ist vollkommen in Ordnung. \(-1\) für \(f_{yy}(-1;2)\) ist nicht korrekt. Ich wette du gibst immer \(-1^2\) in den Taschenrechner ein anstatt \( (-1)^2 \)
─
cunni
30.04.2021 um 23:58
Das Ergebnis ist keine ganze Zahl.
─
cunni
30.04.2021 um 23:59
Wie kommst du auf eine 3 im Zähler?
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cunni
01.05.2021 um 00:01
Was hast du eingetrippt? Tippe mal genau das, was du eingetippt hast hier in den chat.
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cunni
01.05.2021 um 00:03
Da fehlen klammern für die Wurzel. Woher soll der denn wissen, wie die Wurzel anfängt und wo aufhört?
Da Fehlen auch klammern für den rechten Nenner
1/ wurzel( (-1)^2+2*(-1)-2^2+4*2)- (4-2*2)/ (4 ( (-1)^2 + 2(-1)-2^2+4*2)^3/2) ─ cunni 01.05.2021 um 00:29
Da Fehlen auch klammern für den rechten Nenner
1/ wurzel( (-1)^2+2*(-1)-2^2+4*2)- (4-2*2)/ (4 ( (-1)^2 + 2(-1)-2^2+4*2)^3/2) ─ cunni 01.05.2021 um 00:29
ACHSO. omg. Du musst echt LaTeX lernen. Du meinst die ganze Zeit \( \frac{\sqrt3}{3} \) und nicht \( \sqrt \frac{3}{3} \). Gut. Bis auf die Ausnahme, dass das Minuszeichen fehlt, denn du musst natürlich -1/ wurzel( (-1)^2+2*(-1)-2^2+4*2) eingeben, ist das korrekt.
\(-\frac{1}{\sqrt{3}} \left(=-\frac{\sqrt 3}{3}\right) \) ist korrekt. Die Hessematrix lautet somit \[ H_f(-1;2) =\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}} & 0\\
0 & -\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{pmatrix} \]
Wie lauten nun die Eigenwerte? In diesem besonderen Fall gibt es einen Trick diese ganz schnell anzugeben. Obere und untere Dreiecksmatrizen haben ihre Eigenwerte immer auf der Diagonalen aufgelistet. ─ cunni 01.05.2021 um 00:41
\(-\frac{1}{\sqrt{3}} \left(=-\frac{\sqrt 3}{3}\right) \) ist korrekt. Die Hessematrix lautet somit \[ H_f(-1;2) =\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}} & 0\\
0 & -\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{pmatrix} \]
Wie lauten nun die Eigenwerte? In diesem besonderen Fall gibt es einen Trick diese ganz schnell anzugeben. Obere und untere Dreiecksmatrizen haben ihre Eigenwerte immer auf der Diagonalen aufgelistet. ─ cunni 01.05.2021 um 00:41
Dann mach mal ^^. Aber wie gesagt, die stehen auf der Diagonalen, weil hier zufällig \(H_f (-1;2)\) in einer oberen Dreiecksform angegeben ist. Du kannst das gerne einmal mit dem Allgemeinen Verfahren ausprobieren aber du wirst dann auf die Eigenwerte \( \lambda_1 =\frac{1}{\sqrt 3}, \lambda_2 =-\frac{1}{\sqrt 3} \) kommen.
Was bedeutet das für die Definitheit und was bedeutet diese Definitheit für die kritische Stelle? ─ cunni 01.05.2021 um 00:56
Was bedeutet das für die Definitheit und was bedeutet diese Definitheit für die kritische Stelle? ─ cunni 01.05.2021 um 00:56
Diese Sonderregel mit \(a_{11}\) kannte ich auch noch nicht. In diesem Fall ist es aber eben noch viel einfacher, weil es eine Diagonalmatrix ist und bei Diagonalmatrizen stehen die Eigenwerte auf der Diagonalen schön aufgelistet.
─
cunni
01.05.2021 um 01:45
@mikn: Um zu bestimmen, ob es sich um einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt oder einen Sattelpunkt handelt, muss anonym die Definitheit der Hessematrix bestimmen. Dafür gibt es natürlich verschiedene Wege. Ich denke es ist am besten, wenn er/sie das über die Eigenwerte lernt aber sag mir gerne, welchen Weg du bevorzugst. Ich wollte einen nehmen, der nicht das Wissen, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt vorweggreift und auch keinen, bei dem dem ein geeigneter Vektor geraten werden muss. ─ cunni 30.04.2021 um 22:13