Quadratsumme - Zahlentheorie (Beispiel?)

Aufrufe: 322     Aktiv: 11.02.2023 um 14:57

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Hallo!
Ich versuche gerade folgenden Satz zu verstehen: 
Eine Zahl $n$ kann man schreiben als $n=a^2+b^2$ $\Leftrightarrow$ $v_p(n)$ gerade für alle $p \equiv 3 (mod 4)$

Kann jemand mir ein Beispiel geben, das ist immer sehr hilfreich für das Verständnis. Danke!!
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Punkte: 40

 

v_p ist p-adische bewertung, oder?   ─   mathejean 10.02.2023 um 20:14

@mathejean genau.   ─   einmaleins 10.02.2023 um 20:32

weil das für mich wie ein Vorwurf klang, als würde ich aus bloßer Faulheit die Frage reingestellt haben.
n=245, $v_7(245)=2$ (gerade) und $7 \equiv 3(mod4)$. Somit ist $245=a^2+b^2$ aber wie komme ich auf a und b?
  ─   einmaleins 10.02.2023 um 21:11
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1 Antwort
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Ja, es klang für mich so als wolltest Du uns für Dich denken lassen (ist im Forum nicht selten). Du wolltest ein Beispiel und hast nicht gesagt, warum Du keins gefunden hast. Die meisten im Forum finden keins, weil sie gar nicht gesucht haben. Ok, dann bist Du die Ausnahme, finde ich gut.
Und nun hast ja auch klar gemacht, was Dein Problem ist. Dann kann man nämlich auch helfen.
Du hast also ein Beispiel, gut. Der Satz ist eine Äquivalenz, d.h.
$n$ lässt sich als Quadratsumme schreiben genau dann wenn ...
Also, wenn $n$ sich nicht als QS schreiben lässt, dann gilt die Negation der zweiten Hälfte, heißt es gibt ein $p$ mit ... und .... Das kann man ja durch Probieren finden (bzw. erstmal überprüfen). Einfacher ist es natürlich für kleine $n$.
Ergänzung: Dein Beispiel sagt noch nicht, dass 245 als QS geschrieben werden kann. Du hast ja nur ein $p$ angegeben. Es muss aber für alle $p$ die Eigenschaft gelten.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.35K

 

Wenn wir beim Beispiel $n=245$ bleiben, können wir $n$ in Primfaktoren zerlegen. $245=5*7^2$. Wir müssen also die 7-adische und die 5-adische Bewertung bestimmen und überprüfen, ob sie grade ist. Die 5-adische ist aber irrelevant, da $5 \not\equiv 3 (mod4)$.
$v_7(245)=2$, also grade und somit ist nach dem Satz 245 darstellbar durch zwei Quadratzahlen.

Dann habe ich rumprobiert:
Ich habe mit $a=16$ angefangen, da aber $16^2>245$, habe ich die nächstkleinere Zahl $15$ genommen: $245=15^2+b^2$. $15^2=225$ und deshalb muss $b^2=20$ sein, was aber nicht geht, da $\sqrt{20} \notin \mathbb{Z}$.

Dann habe ich weitergemacht mit $a=14$. $14^2=196$. $b^2$ muss also $49$. Folglich ist $b= \sqrt{49}=7$.

Insgesamt: $245=14^2+7^2$

Was ist, wenn eine Zahl $n$ ziemlich groß ist? Könnte man dann auch $a$ und $b$ nur Rumprobieren herausfinden?
  ─   einmaleins 11.02.2023 um 14:35

Danke für die Hilfe!   ─   einmaleins 11.02.2023 um 14:54

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