Extremwert Abstand Punkt auf Fläche zu Punkt

Aufrufe: 752     Aktiv: 13.05.2020 um 18:09
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Wie finde ich diese Funktion? Bzw. welche soll das sein?

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Student, Punkte: 126

 
Hi thalgaugang1!

Welche Funktion ist denn im Allgemeinen die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten?

lg Julian   ─   magificus 13.05.2020 um 12:46
Ja, irgendwie eine Gerade eben   ─   thalgaugang1 13.05.2020 um 12:47
Genau!

Das heißt du willst den Punkt auf deinem Paraboloid finden, von welchem aus die Gerade die kürzeste Länge zu deinem gegebenen Punkt aufweist.
Das kannst du nun auf verschiedene Arten bewerkstelligen: Entweder du wirfst gleich den ganzen Apparat der Variationsrechnung an (in diesem Fall eigentlich nicht nötig). Oder du machst dir bewusst, dass die Gerade mit dem Paraboloid einen rechten Winkel einschließen muss, um die Länge zu minimieren.
Welchen Weg du wählst sei dir überlassen :)
Falls du noch Fragen hast gerne melden.

lg Julian   ─   magificus 13.05.2020 um 12:54
Danke! Aber woher weiß ich, dass es ein Paraboloid ist? Soll ich das dann über Vektoren machen?   ─   thalgaugang1 13.05.2020 um 14:38
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Der Abstand zwischen einem Punkt `(x,y,z)` auf der Fläche und dem Punkt `(1,1,1/2)` berechnet man mit der Formel
`d(x,y,z) = sqrt((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1/2)^2)`
wobei du für `z=x^2+y^2` einsetzen musst., also als Funktion von x und y:
`d(x,y) = sqrt((x-1)^2+(y-1)^2+(x^2+y^2-1/2)^2)`

Leichter zu minimieren ist die Funktion
`f(x,y) = (d(x,y))^2 = (x-1)^2+(y-1)^2+(x^2+y^2-1/2)^2`.
Das ist die gesuchte Funktion.

 

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