Question

Wie beweise ich diese Aussage über zyklische Gruppen?

Aufrufe: 417 Aktiv: 10.10.2021 um 23:14

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Hallo Zusammen

Ich stehe gerade bei folgender Aufgabe an, und wäre froh wenn mir jemand einen Tipp geben könnte wie ich weiterfahren soll (ihr müsst nicht meine Aufgabe total lösen, ein Tipp genügt, dann kann man immer noch darüber diskutieren und Gedanken austauschen)

Es geht um folgende Aufgabe:

Seien $C_m, C_n$ zwei zyklische Gruppen mit Kardinalität m respektive n. Sei $d=gcd(m,n)$. Wir möchten alle Gruppenhomomorphismen $f:C_m\rightarrow C_n$ klassifizieren.

Ich habe in Teilaufgabe a schon gezeigt dass für jedes $x\in C_m$ gilt dass $ord(f(x))$ d teilt.

Nun Nehmen wir an, $C_d\subset C_n$ sei die einzigartige Untergruppe mit Kardinalität d. Wir müssen zeigen, dass das Bild von f in $C_d$ enthalten ist.

Bis jetzt habe ich folgendes:

Sei $y\in Im(f)$. Dann existiert ein $x\in C_m$ so dass $f(x)=y$, wir möchten nur noch schauen dass $f(x)\in C_d$.

Da $C_n$ eine zyklische gruppe ist existier ein $c\in C_n$ so dass $$\langle c\rangle=C$$ Da nun $C_d\subset C_n$ ist, wissen wir dass für alle $$u\in C_d, u=c^i, \,\,\, 0\leq i\leq n-1$$ Wir bemerken auch, dass $C_d=\langle c^{\frac{n}{d}}\rangle$

eigentlich wäre mein ziel zu zeigen dass $f(x)$ eine geringere Kardinalität hat als d, dafür hätte ich einfach das Resultat aus Teilaufgabe a verwendet, aber ich zweifle dass das geht, da ja $f(x)\in C_m$ liegt und der Erzeuger von $C_m$ nicht der gleiche ist wie der von $C_d$.

Ich hoffe ihr versteht mein Problem.

Vielen Dank für eure Hilfe!

EDIT vom 10.10.2021 um 09:07:

Also das wäre die Aufgabe im Originalton:
Let $C_m,C_n$ be two finite cyclic groups of cardinality m and n respectivly. Let $d=gcd(m,n)$ be the greates common divisor ov m and n. We want do classify all morphisms of groups $f:C_m\rightarrow C_n$
1) Show that for every $x\in C_m$, $ord(f(x))$ is a divisor of d.
Das habe ich schon gezeigt.
2) Let $C_d\subset C_n$ be the unique subgroup of cardinality d. Show thate the image of f is contained in $C_d$. What happens if d=1?

Ich hoffe das hilft weiter.

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gefragt 09.10.2021 um 20:31

karate
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Hab ich gemacht. ─ karate 10.10.2021 um 09:08

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1 Antwort

42 · Accepted Answer · 2021-10-10T23:14:07Z

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Man kann hier folgendermaßen vorgehen:

Sei $ y \in im(f) $. Wir schreiben $ y=c^i $ für einen Erzeuger $ c $ von $ C_n $.

Durch Division mit Rest erhalten wir eine Darstellung $ i = r \frac{n}{d} + s $ mit $ 0 \le s < \frac{n}{d} $.

Damit folgt nun

$ c^{sd} $ $ = c^{rn} \cdot c^{sd} $ $ = (c^{r \frac{n}{d}+s})^d $ $ = (c^i)^d $ $ = y^d = 1 $

Also muss $ ord(c)=n $ das Produkt $ sd $ teilen. Wegen $ 0 \le sd < n $ folgt somit $ sd=0 $ und schließlich $ s=0 $.

Es ergibt sich also $ y = c^{r \frac{n}{d}} \in C_d $.

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geantwortet 10.10.2021 um 23:14

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